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Formel 
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Arithmetik und Algebra. 
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q ) 32 a 
Intl (zum 8) Mm 
man erhält: lim. - lim. - @?—=lim. - 20 
79 ) 
Mm, 
dın mn — 3) (2m | 
EIN 
Ist & | so konvergirt die Reihe; ist «> 1 so divergirt dieselbe. Für &==1 untersucht man 
: 7 
F za 6 
f I/m;1 m (6m [#} m 3 
im. »(1 lim. lim. : 1 
dm (2m 2) (dm — 1) 5 2 a 1 2 
[Zi m 
Die vorgelegte Reihe ist also für den Werth a 1 konvergent. 
h. Interpolation. 
Es sei y=/(x) eine eindeutige Funktion von «, welche mit ihren Ableitungen 
innerhalb der betrachteten Intervalle stetig veränderlich bleibt. Die Form der f(x) 
sei unbekannt. 
Man kenne eine Reihe von Wertheh 3 Ve ee 07 
und die denselben entsprechenden Werthe ... x... 2. In 9» HB... Im 
Für ein x, welches in der Nähe von &,, 3, &3 .. - - liegt, findet man näherungs- 
weise das zugehörige y nach der Formel von Lagrange: 
y=AyıtAhyp+Ayst - :-:-: - Auyn 
worin zu Setzen: 
(X 0) Er NE Cu) (X 2,):(% Cola XCn) 
A = - 240 = 3 
(7 x) (X 23)... (2 — Cu) (£5 — Xı) (&a — 5) . . . (X — En) 
(2 71) 12 5) (“ Un-1) 
x (Kun 2) (£n Lo)... (in —- In-ı) 
Beispiel: Es seien für eine Kurve, deren Gleichung unbekannt ist, gemessen: 
DEI 0 0 nn 
y 4 20 35 84° man erna ° 
(2 —3) (a 4) (2 — 6) (a 1) (© — 4) (2 — 6) (e—1) (e&--3) (e—6) „; 
Y 4 4} 20 +4 Ps 99 | 
(1—3) (1 4) (1—6) (3—1) (3 — 4) (3— 6) (4 —1) (4—3) (4—b) 
( 1) (© —3) (& t | 
u \ 84 oder: y (23 + 622 + 11x + 6) 
(6— 1) (6— 3) (6—4 6 
durch welche Beziehung näherungsweise die Gleichung der Kurve zwischen den beubauch- 
teten Abszissen-Werthen gegeben ist. 
II. Zinseszinsen- und Renten-Rechnung. 
Ks ee K, das Anfangs-Kapital, p die jährlichen Zinsen von 1, 
(z. B. p = 0,05), Kt den Endwerth des Kapitals nach t Jahren; ferner werde 
gesetzt: 1-F pP g (Diskont-Faktor). Es ist: 
1. Wenn die Zinsen am Ende jedes Jahres zum Kapital geschlagen werden: Ar = Kog! 
2 > injedem Ze it-Element dt „ 5 i „ Kı=Ky ev 
3. W ird am ıE nde eines jeden ‚Jahres ein konstanter Betrag r r.(g! 1) 
zum Kapital hinzu gefügt oder fort genommen, so wächst Ar = = Ku gt 4 
das Anfangs Kapital in { Jahren auf die Summe: 
t. Das Kapital X, erreicht diesen Betrag A: in , ig(p Kıtr)— Igp user) 
Jahren: igq 
5. Für den speziellen Fall, dass r negativ und grösser 
als die jährlichen Zinsen des Kapitals ist, wird das = 
) 
/ 
lgr Ig (r p Ko) 
ER ; n lc 
Kapital X, aufgezehrt nach Jahren: 94 
6. Soll eine Rente r für die folgenden rn Jahre gekauft Ka r("—) 
werden, so hat man dafür zu zahlen: pq" 
III. Kombinatorik. 
a. Permutationen. 
1. Zahl der Permutationen von n ungleichen Eu er. nn 
Zahl der Permutationen von n Elementen, \ _ @+1)(p+2) n 
J pr hs ad u...» 
worunter p von gleicher Art sind: 2: pl L ! 
DT \ ! / [ 
3. Zahl der Permutationen von n Elem., worunter } _ nn = n | e ) 
n—m der einen und m der andern Art sind: |" m!(n—m)! BEN 
Zahl der Permutationen von n Elementen, \ __ n! 
worunter je p,9,r gleicher Art sind: Splalr!