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428 Resultate aus der reinen Mathematik 
Beispiel2. y ve — 2aa? + a2a 
day > 7 \ { 
; 3@ daxc-+ a? o, liefert die Wurzeln I 
«X vs ya 
9 
arYy 2 — 4 | dieser Werth wird positiv für = « 
dx? \ und negativ für a La 
; : iu an En i 
für a a wird Y o ein Minimum; für a wird y a3 ein Maximum 
Ö 4 
Beispiel 3. y x» 55a +1 
ly R 5 e F 5 a | 
Bat 20203 +15@2=o liefert die Wurzeln }!“ı 2 FR 1 
da lo 05% 3 
9 
d=y i1s oati "ir 7% 2 ” 
20 23 — 6022-430, $ Wird negativ für 23 ) wird o für x; und ws 
dx? l = positiv See ' 
d3y : i : 
1 60 x 120 23 + 30 wird 30 für x; und a 
d x9 A 
Den Wertihen x; und x» entsprechen hiernach keine eminenten Werthe von y, da die niedrigste 
\bleitung, welche bei Einsetzung dieser Werthe nicht verschwindet, von der öten Ordnung ist 
Für 3 1 wird y=2 ein Minimum; für @2,=3 wird y 26 ein Maximum. 
2. Funktionen von mehreren Urvariabeln. 
Eine Funktion u=/ (x, y, 2...) hat für ein bestimmtes Werth-System der Variabeln 
einen eminenten Werth, wenn für dasselbe sämmtliche partiellen Differential- 
Quotienten der Iten Ordnung verschwinden und wenn die niedrigste Ordnung, für 
welche sie nicht sammtlich verschwinden, eine gerade ist. 
Verschwinden für das gedachte Werth-System sämmtliche partiellen Differential- 
Quotienten der 2ten Ordnung, so wird die weitere Untersuchung meistens sehr 
umständlich und man wird vorziehen, aus der Natur der vorliegenden Funktion 
auf andere Weise zu entscheiden, ob eminente Werthe vorhanden sind oder nicht 
Bei Funktionen von mehr als 2 Urvariabeln fällt die Untersuchung über die 
Natur des eminenten Werths bereits ziemlich verwickelt aus.*) 
Für eine Funktion zweier Variabeln u=f (x, y) gelten, falls die 2ten Ab- 
leitungen die Entscheidung liefern, für Bestimmung der emin. Werthe folgende Regeln: 
: nr 0/ Ö J £ i : 
Die aus den Gleich. — o und — 0 abeeleiteten Werthe müssen die 
0 IE 0 U 
ne 0?7 0° 02f\\? > 
Bedingung:  — — | N o erfüllen, und entsprechen einem Maximum 
0 220 Y \oxody / 
Er 0? 0? f 
oder Minimum von / (x, y), je nachdem sie und - gleichzeitig negativ 
; f 0.7? 0 y° 
oder positiv machen. 
Beispiel. Die Zahl 30 in 3 Theile so zu zerlegen, dass das Produkt au dem lten Quadrat 
des 2ten Kubus des 3ten ein Maximum ergiebt. 
u 23 y2 (30 x y) 
u 
5 3 02 y2 (30 X ı ey of vy 15 
u 
Er 2 x09y 10) ) Y) v3 y2 o \ / 10 
02? u 
Ing 62 y2(30 TC y) 62 yY. . . für 2, ,Yı 90 000 
\ 2.23 (30 1 y) Eye i ee für 2, ,Y 101 250 
0? u 
a 6224 (30 7 y) 3202 42 2a y reger A ge 67 500 
90 000 . 101 250 (67 500)2. > wird zu einem Maximum für 153.102.5 
3. Unentwickelte Funktionen. 
(x, y) = 0. ‘Die eminenten Werthe von y ergeben sich durch die gleich 
zeitiece Erfüllung der Bedingungen: 
of of> 
A) I (X, %y) ..0)* - () 
0X S ’ 0Y 7 
i 2 ; 02/ [9 f] 
und zwar erreicht y ein Maximum, wenn — |; | 0 
or? | 04 | 
E 0°] 19/ 
% „ Minimum > 0 
| 0.72.| | 0%. 
Werthvolle Hülfsmittel zur Vereirfachung der Untersuchung liefert die Anwendung de 
Determinanten-Theorie. Vergl. Baltzer. Theorie und Anwendung der Determinanten. $6, No 
ınd Sehloemich. Handbuch der Mathematik. Bd. 2. 8. 509 fi