138 Resultate aus der reinen Mathematik. 
h ] 
2 (Fa)dae=— Alyv +4 Yyı Ya 7% 7 :--Yn—1). +2 (» + Wr 4 
ö od s , 
od (0 a) 
.Yn—2) +Yn F988 n‘ M 
n muss eine gerade Zahl sein. Gebrauch des Schlusseliedes wie vor. Man erhält 
4 
e z z 5. 10P(b - a) M 
unter eleichen Voraussetzungen: n > 
288 
Der Genauigkeitsgrad der Formel (2) ist demnach oeringer als derjenige der 
Formel (1).*) 
\ ee 3 1 l 5 B;( ) /] Y ] 
3. N Sa)da=A 9 +yı ty +: yn—ı+ 5 Yl7 9 [f’(6)—f' (a)} 
lim). (a) 
72.974: : Ar 
In dieser Formel bezeichnen 3}, B3,... die Bernouilli’schen Zahlen: 
l l e 1 l ey 691 
Bi, 7Bs- on. BD: 7 — : Bun = USW. 
6° 30 12 30 66° 2750 
III. Differential- &leichungen. 
a. Differential-Gleichungen 1. Ordnung. 
. 1 \ np . u / dy\ u 
1. Die allgemeine Form der Differential-Gleichung f( &, y, ; ) = o wird durch 
. . . . 7 » . : d Ü 
Multiplikation mit dx auf die Form gebracht: 
Mda l N dy - 0 
worin M und N Funktionen von x und y sind. Die Gl. bildet das vollständig« 
Differential einer Funktion 2 (x, y) = C, wenn die Bedingungen erfüllt ist: 
N 
O4 04 k . . . . . . . 
z ——, Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so existirt ein integrirender Faktor 
0% 04 
durch dessen Multiplikation die Gl. aMdx + a Nday zu einem vollständigen 
Differential wird. 
Die Inteeration ist immer ausführbar, wenn M=F«(x) und N=f(y), oder 
wenn die Gl. auf diese Form zurück geführt werden kann. (Vergl. 2—6). 
2. Die Variabeln sind getrennt: F(x) da f(y) dy 
Dann ist: [ F(x) de + [(y) dy= ( 
3, Trennung der Variabeln durch Multiplikation oder Division: 
F (a ‚FıYy) da + Ei) d) (Y) dy == d 
Es F (x) d (Y) 
Man dividire durch f (x) # (y) und erhält: dx + ——<dy=o0 
r , At #(y) 
: . : ; 5 e : . dy ; Y 
t. Wenn die Form der Funktion die Darstellung ermöglicht von: ; Y A 
«dA \a 
(homoeene Differential-Gleichungen) wird die Trennung der Variabeln erreicht durch 
die Substitution: y=rz. 
| (Y ER 
Wegen y' —=/ | ) — f(z)ist: zda rdz=f(z) dx und das Resultat: 
A 
| m ( 
i (2) 
ART ee a Y 
5. Dieselbe Substitution führt zum Ziel bei der Form: % - F(a)f\ ) 
X \4 
j \ i  dz (x) 
Man erhält: xd: Fi£)F(@)dr, | | dc + C 
(2) b “X 
6. In der Differential-Gleiche. (ax +by-+ ce) de + (az -+b'y+e')dy=o 
substituire man: l u+ae;y=v-+P 
und bestimme « und # aus den Bedingungen: a« + bf c;a'a+b' 
Man erhält: (au—+ bv) du-+ (a'u+b'v)dv=o welche Gl. nach (4) weiter zu 
Verel. Sehloemilch. Kompendium der höhern Analysis Kap. XIV.