durch einen 
(7 Yı) 0, 
unkte (x, Yı) 
) bestimmten 
Lu) 
Fi ) 0) 
» Punkte bei 
ı besteht: 
Fig. 137. 
or | 
0% / 
(7 Y) () 
y 
(N l 0) 
Ss 
d 
Y I 
‘ii 
so ı18t (lie 
mptote. Die 
nten-Gleiche. 
Äxe. 
-Äxe. 
nicht ver- 
Analytische Geometrie der Ebene. 
Tafel zur Darstellung der Beziehungen ad 5. 
Die 2. Ableitung ist: 
steigend steigend | ; 
7 x Wendepunkt 
und und rs 
| : 5 im Steigen 
” konvex | konkav 
2 allend De alle 
< fallen. fallend Wendepunkt 
und und : s 
j im Fallen 
konvex konkav Sr 
R | 
  
0 RD) Minimum DR Maximum Unbestimmt 
Die besonders wichtigen Kulminations - Punkte (Maxima und Minima) werden 
nach den 8. 427 ff. gerebenen Regeln ermittelt. 
6. Mehrfache Punkte. Erscheint für einen Punkt der Kurve der Werth 
ly oF o9F 5 i 0 NEN 
= et unter der unbestimmten Form . so müssen die Gleichen.: 
da Na \7 ) 
Li 0: 0% 
Ö FF 0 d F 
in 0: F(x,y)=0 zusammen bestehen. 
0x 0% ’ o 
E 5 e - dy 5 x ; 
Zur Ermittelung des wahren Werthes von -- sind Zähler und Nenner des 
AÜX 
oF oF BR E 
betr. Ausdrucks, also ——- und nochmals nach dx zu differentüren. Man erhält 
0% 0% 
dy E 
“. aus der Gleichg.: 
0°?F 08  dy 021 & y\ 
2 - a 
022%! 020y dx 0y? \dx/ 
; ay - . 
durch Auflösung nach — =tang r. Man erhält 2 Wurzelwerthe für taug 7; der 
(5 
betr. Punkt ist ein Doppelpunkt, in welchem 2 Tangenten sich schneiden. Sind 
beide Wurzeln gleich, so fallen die Tangenten zusammen und der Punkt ist ein 
Rückkehrpunkt oder Wendepunkt. Sind die Wurzeln imaginär, so erhält 
man einen isolirten oder konjugirten Punkt, in welchem die. Kurve keine 
reellen Tangenten hat. 
7. Berührune von Kurven. Wenn 2 Kurven „=/}(%) und % (x) 
einen Punkt semeinschaftlich haben und die Ableitungen von J (X) und (X) 
bis zur nten incl. einander eleich sind, so haben die Kurven eine Berührung 
nt Ordnung. 
Die Tansente einer Kurve hat mit derselben im allgem. eine Berührung 
1 ter Ordnung, in den Wendepunkten eine Berührung 2'° Ordnung. 
8, Krümmuneskreis. Der Krümmungskreis hat mit der Kurve 
Berührung 2t*r Ordnung. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Krümmung: 
Mittelpunkt, sein Radius der Krümmungs-Halbmesser, dar. töpiproke Werl 
des Radius ist die Krümmung der Kurve in dem betr. Punkte. 
+69" 
eine 
t z ds 
Krümmungs-Radius o : ! 
f AT d?y 
da N3 
Ist N die Länge der Normalen (vergl. 3), so ist auch p = 7 
{ I ,.Q2 
  
   
   
     
  
   
    
  
   
  
  
    
  
    
   
    
   
   
   
  
  
    
   
     
      
    
   
   
   
     
   
   
   
   
     
     
  
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