I 
I 
III 
II 
II) 
Chill 
IN] 
II 
Il 
| 
  
  
  
  
  
  
1 . ‘ 
| 444 Resultate aus der reinen Mathematik. 
ı 1y dy & (9) 
N Koordinaten des Krüm- _ dx " \da) Re 
! ns ä ne cz _ : ın=y 
H mungs-Mittelpunkts: d?y der dey 
Hl dx? dx? 
i 9. Evolute und Evolvente. Der geometr. Ort der Krümmungs-Mittelp. 
ı einer Kurve ist die abgewickelte Kurve oder Evolute der Kurve, im Vergleich 
wozu die ursprüngliche Kurve die Abwickelungs-Kurve oder Evolvente heisst. 
| Die Gleichg. der Evolute wird gefunden, wenn man aus den Gleichen. der 
Koordinaten des Krümmungs-Mittelp. mit Hülfe der Gleichg. der Evolvente und 
N 2 . a : Be f : dy d2y Urea 
| durch Verbindung jener beiden Gleichgn. die Werthe «, y, ] und 7% eliminirt. 
N dx dx 
Die Differenz zweier Krümmungs-Halbmesser ist gleich dem von ihren Endpunkten 
1 begrenzten Stück der Evolute. Hieraus folgt, dass der Endpunkt eines vollkommen 
biegsamen, unausdehnbaren Fadens, welcher auf die Evolute gewickelt ist, die 
i Evolvente beschreiben muss, wenn der Faden stets in Richtung der Tangente ange- 
I zogen, von der Evolute abgewickelt wird. 
{ \ 
y RE g dy\: 
10. Rektifikation: s= I\ ] [- da 
2 \dx 
Il. Quadratur. Fläche zwischen den Ordinaten % yı: F IY v) da 
12. Polar-Koordinaten. (Fig. 138). Alleem. Gleiche. der Kurve: r (cd) 
bezw. F(r, d) = 0. Beziehung zwischen Polar-Koordinaten und rechtwinkl. Koordinat 
VariSod; z=a-tr cosd 
Winkel zwischen Tangente und Radiusvektor: 
Fig. 138 rde 
tang o= ne 
dr 
ry\ »r r 
| Polar-Tangente: P7 
COS Oo 
Polar-Subtangente: 0,7 r taueo 
r r 
Polar-Normale: PN= 
sıı o 
> & Y 
R Polar-Subnormale: O,N 
tang o 
Krümmunes-Halbmesser: 
\ /dr\ 2% 
N r? | IE 
\} | | Bis io) | 
; ‘ dr\2 d2r 
‚2 9f 
7 “\do) 
  
/dıb\2 d 
| Bogenlänge: s= | \ It r?| ’ dr AN r?-+-| \ de 
! a \dr) i  \db 
r lb, i 
| il 
| Quadratur (Sektor zwischen r, und nr): F=!/, (r? do 
| 17 
’ Beispiel 1. Untersuchung der Kurve der Gleiehe.: y Br \ v2 a? 
} [74 
i' Für a a ist die Kurve imaginär. Für a ra wird y 0. Zu jedem positiven oder negativen 
" Werthe von x gehören 2 gleiche Werthe von y, von denen einer positiv, der andere negativ ist. 
\ Die Kurve besteht also aus 2 getrennten Aesten, welche symmetrisch zur X- und Y-Axe liegen 
und die X Axe rechts und links vom Nullpunkte in der Entfernung « von demselben schneiden. 
\ dy b 1 b2 x d2y ba bi 
dx t a y da? 2 
y ae 7 
    
   
  
    
   
   
   
  
  
  
    
    
    
  
  
      
     
    
   
     
  
   
    
  
   
   
     
    
   
       
       
            
     
all 
du