458 Resultate aus der reinen Mathematik.
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Polar-Tangente PT=[r- = : Polar-Subtangente =
a cos eo a
Krümmungs-Radius o = der Polar- Normalen. 1.
Die Evolute der Kurve ist eine kongruente Spirale, welche um den Winkel
7 Ina ; Sn & Di:
: gegen die ursprüngliche Spirale gedreht ist.
2 ad
Bogenlänge zwischen den Punkten P,, und P;:
VErRBN Wie
gs == (r!. —r) = A
d c0OSs oO
Die ganze Bogenlänge vom Punkte /’ bis zum Pol © ist gleich der Polar-
Tangente für den Punkt £.
c. Gleichungen einiger anderweiten transzendenten und algebraischen Kurven X
höherer Ordnung.
1. Cissoide. Gegeben ein Kreis mit dem Durchmesser 2a; im Endpunkt eines
festen Durchmessers welcher als X-Axe dient, wird eine 'Tangente gezogen, vom
Fig. 168. andern Endpunkt, welcher Koordinaten-
Nullpnnkt ist, eme Sekante bis zum
Schnitt mit jener Tangente. Die Länge
der Sehne, welche der Kreis von der
Sekante abschneidet, wird auf derselben
von ihrem Schnittpunkt mit der Tangente
abgesetzt. Der so bestimmte Punkt ist
ein Punkt der Kurve der Gleichge.:
y la — x) = x°
2. Lemniscate, Fig 168. Gegeben
! auf einer festen geraden Linie 2 Punkte
F, F, im Abstande 2c. Der Ort aller Punkte, für welche das Produkt der Ab-
stände von Fund FM: FP.F,P, =c:, ist eine Lemniscate.
(22 - y) = 2c? (2? — y?) oderr = cV2 Veos 2d =a YVcos 24 be
Die im Nullpunkt sich schneidenden Aeste stehen senkrecht auf einander.
Die halbe Axe ist: «= ecY2.
Ist der Winkel zwischen einer Normalen und dem Radiusvektor, so ist e = 24
Für Ymax ist ’)=50' undr=e
(Ganze Lemniscaten-Fläche: F= a?
3. Konchoide des Nicomedes. Gegeben eine feste gerade Linie und ausserhalb
derselben in der senkrechten Entfernung 5 ein Punkt (Pol der Konchoide). Man
zieht vom Pol Gerade in beliebiger Richtung durch die feste Gerade und schneidet
auf ihnen oberhalb und unterhalb der Durchschnittpunkte eine konstante Länge «a
ab. Die so bestimmten Punkte sind Punkte der Konchoide. Die feste Gerade
ist X-Axe, die Normale vom Pol auf dieselbe Y-Axe, bezw. Polar-Axe, der
Pol Polar-Nullpunkt.
b
(2? +y2) y—b)=a?’y? oder r=a ;
COS o
t. Descartes’sches Blatt. 2 + YP = 3ary.
5. Cassinoide. (x? 4 y? + a)? = 4a? x? - bi.
6. Kurve der Maria Agnesi. y! x? = 4a! (law — ?).
7. Kardioide. (y? + x? — ar)? = a? (0 + y?) oderr=a (1-4 008 /).
8. Vierblatt. (y? -+ 22)? La? x? y? oder r=asin2d. '
9. Logarithmische Linie oder Logistik. x = alnı.
10. Parabolische Spirale. r? = a?Y.
11. Neoide oder Spinnlinie. r= a — e d.
7 Kı
g 72
12. Quadratrix von Tschirnhaus. y = a sin on
13. Quadratrix des Dinostratus. y = x tang | ; 5
