den Winkel 
der Polar- 
Kurven 
punkt eines 
zogen, vom 
oordinaten- 
e bis zum 
Die Länge 
is von der 
f derselben 
r Tangente 
e Punkt ist 
eiche.: 
8. Geeeben 
ie 2 Punkte 
kt der Ab- 
ausserhalb 
ide). Man 
l schneidet 
te Länge «a 
te Gerade 
-Axe, der 
Analytische Geometrie des Raumes. 
J. Analytische Geometrie des Raumes. 
Litteratur: Fort u. Schloemilch. Lehrb. d. analyt. Geometrie. 2. 'Th. Analyt. Geom. 
l. Raumes; 4. Aufl.; Leipzig, Teubner. 
I. Koordinaten im Raume. 
Die Richtungen OX, OY, OZ sind positiv, die Richtungen OX,, OY,, OZ, negativ 
zu denken, Fig. 169. 
Fig. 169. Fig. 170. 1. Polar-Koordi- 
naten, Fig. 170. Die 
Lage eines Punktes 7? 
wird mittels Polar-Koor- 
dinaten bestimmt durch 
den Radiusvektor r, den 
Winkel x» desselben 
voeven die A-Axe und 
den Winkel A der durch 
X und r gelegten Ebene 
mit der XY - Ebene. 
2. Beziehungen 
zwischen Polar- und 
Parallel-Koordinaten: 
  
„N , 
  
e =.1.608. 93 
a me, 
y=r sin u cos 4; ca = —; na 
Y ts 
sin A 
Vy [22 vy: L22 
ransformation rechtwinkliger Koordinaten. 
y', 2', Koordinaten des neuen, r, y, 2 des alten Systems. 
a. Parallele Verschiebung. «a, Ö, e Koordinaten des neuen Nullpunktes 
bezogen auf das alte System. != 2 —a; Y=y—b; !=2— c. 
b. Drehung bei gemeinschaftlichem Nullpunkt. Es seien die cos der Winkel 
der Axen: OXIOMLOZ 
28 Sn: BInaA; LOB, As 
mit der Axe 0X —=|«,.|ß, Yr Ber 
oy' 5 ' dann ist: 
*. . Pr 4, Pr Jr 
„ „ „ OZ e. Kyyr Pın Yrn | 
L I 2 ® * DR \ n RE s Be 5 N, 
v, %, x "I Y 29 L&= d,.4 ] d,,Y T &ın * 
Be) ! 2 
Y, d,, CT Pn Y In U PB, 7 Pr Y Prr * 
, 7 } ev > > , „ Ir ! m > 
7 &, I Pın Y 1:79 bu Yı a I YnJ 177909 
Ks bestehen ferner folgende Beziehungen: 
; Bi „)  _| v I y y I ge e Nas 
Wr , l d, On "Pr Pu II: 0 
2 92 id , 9 II 00.027 
Gy Pr /n l d, Ay Pr By ar lo. 0 
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/ı /n EINE Pıfı Prı [un "T Pın Jr 
c. Drehung und Verschiebung: 
7 1.12 BL ER 
' a, (2 —a) + a,,(y—b) + a,,,(2—C) Beste Ye 
’ 2 | | % er I De 
Y P,(a a) Pr\y b) | Pın\2 C) Y. &,, I Ay Y = Yn Hb 
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Ya) IH YW I) TYn®—6) 2 =4,,% TPımnY Yın ( 
II. Punkt, Ebene, gerade Linie. 
l. Sind 2), 0, %, und x, %ı, 2 die Raum-Koordin. von 2 Punkten, ist r deren 
Entfernung u. sind (r.©), (ry), (rz) die Winkel von r mit den 5 Koordin.-Axen, so ist: 
r Vz — 20)? + (yı — Yo)? + (fı — 20)? 
a Ly Yı Yo 2 u 
cos (rt) : cos (ry) 008. IT2) = 
je & 5 
l 
08? (rx) + co8? (ry) —- COS? (r2) l