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Resultate aus der reinen Mathematik. 
2. Der Winkel (r, r,) zweier Richtungen r, und r, ist bestimmt durch: 
cos (rı T3) = C0S (Tr, 7) cos (73T) u cos (Tr, Y) cos ("2 Y) + COS (rı 2) cos (r3 2): 
3. Sind zwei Richtungen r, und r, zu einander normal, so ist: 
0 608.1 2) 008 (r,%) — 
cos (",.%) C08 (Try) + 08 (rı 2) CoS (72 2). 
{. Allgemeine Gleiche. der Ebene. Ar + By+(Cz+D=0 
5. Gleichg. einer Ebene, welche die Axen in den Entfernungen «a, b, e vom 
COS> 
= . n x n 2 i Yy S e 
Koordinaten-Anfang schneidet. rat =l. 
d vd % 
6. Gleichg. einer Ebene, wenn n, ihr Abstand vom Koordin.-Nullpkt. und 
(rr), (ry), (Rz) die Winkel der Normalen mit den 3 Axen sind (Normalform): 
© cos (nz) — y cos(ny) —- zcos(nz) —n, =. 
7. Ist die Gleichg. einer Ebene in der unter (4) mitgetheilten Form gegeben, Di 
so wird dieselbe in die Normalform übergeführt durch Multiplikation mit dem Faktor: 
l 3 
ar . Es ist daher: 
y4:-+B?--.02 u 
| 1 
cos(nx) = AR; cos(ny) = BR; cos(nz)= CR und m DR | 
dei 
8. Gleichg. der Ebene, welche durch den Punkt «,, yı, 2 geht. 
(2 — x) cos (n) (y Yı) cos (ny) L- (2 2.) COS (nz) V. 
9. Die Winkel der Normalen mit den Koordinaten-Axen X, Y, Z sind eleich 
den Winkeln der Ebene mit der YZ, XZ, XY Ebene. 
10. Der Abstand p eines Punktes x, Yı, 2ı von der Ebene ist: 
p= = [vı 608 (nx) + yı cos (ny) 21 C08 (n2) Nu]. 
Das positive oder negative Vorzeichen gilt, je nachdem Punkt und Nullpunkt 
auf verschiedenen oder auf derselben Seite der Ebene lieeen. 
ll. Der Winkel zweier Ebenen 7 und 7, ist—= dem Winkel ihrer Normalen 
also nach (9) und (2), wenn n und n, die Normalen sind: de 
cos (TT,) = 08 (nr) cos (n, x) + cos (ny) cos (nıYyY) + C0S (nz) cos (n,2) = i 
nA in 
AA, + BB, +CGC, 
I s0 
VA+B:+G VArFBr+ 09 
12. Zwei Ebenen sind daher normal zu einander, wenn: AA, + BB, CC 0 
desel. parallel Meine A,::6G 
13. Gleichg. einer durch die Punkte (x, yı 21), (X Y 22), (X Y3 23) geleeten 
Ebene. 
2:1e2J 
| En 5 Yızı l di 21 l rı Yı 1 cı Yı 
| TG yı &ı 1 in BR a ] ; 0 
% Ya 2ı 1 RU N Ja J 
r Y; 1 Ys 2; 1 Yy 2 ] EUR l v3 Yy R 
3 Y3 23 | a ie F} 
14. Ist / die Länge und sind ,, /4, /; die 3 Projektionen einer Geraden 
so ist: 212 I? l,? l3?. hi 
15. Ist / eine ebene Figur und sind /, „„ die 3 Projektionen derselben u 
so ist 
Fe f cos (n z); # = cos (ny); h f cos KIEL Re / n ; / Fe 4 JS? 
Br, fü 
> r r . . 4 J /vo 
16. Das Volumen V eines durch die Punkte I 60 ’ 
(X Yo Ru), (7 Yı Zı), (a Ya 22), (X Yz3 23) eelegten 67 4 | 
Tetraeders ist: 2: ’ 
17. Ein elementarer normaler Y Y y > 
Kegel, dessen Grundfläche ein da oy d: 
’aralleloer: j n Seiten ds ‚7; 
Paı le logeramm mit den seiten ds 7] Br: u “= 32 
und do und dessen Koordin. &, y, z 
{ 2 da 0 U 0 
der Grundfläche, x, Yu, % der 3 
Spitze sind, hat das Volumen: 00 0a 2% B 
18. Die Gleiche. einer Geraden ?!im Raume ist im alleem. durch die Gleichen. 
von zwei Projektionen bestimmt. y=Mix- 0; : Na R.