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(732): 
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@ (Gleichen. 
Analytische Geometrie des Raumes 
19. Geht die Gerade t durch die Punkte x, yı zı so ist ihre Gleiche. : 
1 Yı M (x — ıı); 2 NA %,). 
20. Die Winkel einer Geraden ? mit den Koordin.-Axen sind bestimmt durch: 
1 M 7 
cos (IT) = ; ca(y)= ECO). = 
V1+-M-+N?: V1+-M-+NX: V1-+M:--N: 
21. Der Winkel zwischen 2 Geraden £ und t, ist daher (nach [2]) bestimmt durch: 
ILMM+NN, 
VIHMı+- NM V1ı+M?:+ N? 
29 i ... $normal zu einander wenn: 1-MM-+- NN =0 
Die Geraden sind daher: \ parallel Me Mshnd Ns N 
ar: L - ih I = IN. 
O8 IKEA) > 
92, Der Winkel einer Geraden i der Gleiche. 
Y- M x ' Q; = Nx ia R 
mit der Ebene 7 der Gleiche. Ax + By+ Cz-+ D=0 ist gleich dem Komplement 
des Winkels der Geraden mit einer Normalen rn der Ebene, also: 
A-+-BM-+CN 
\ A? + B? -- 02? y l 1 M? 1 N? 
23. Die Gerade ist daher zur Ebene: 
normal, wenn 4:3:C=1:M:N. parallel, win: A+WMbB+-NC=0 
sin (7) 
94, Die Gerade ? lieet in der Ebene 7, wenn: 
A+-BM+CN=0; BQ-CR+D=0. 
95. Jede Ebene, welche normal zu einer Geraden ist, hat eine Gleiche. von 
der Form: 
x My - Nz- Del), 
in weleher D unbestimmt ist. Geht die Normal-Ebene durch den Punkt , Yı 
so ist ihre Lage im Raume vollständig bestimmt und ihre Gleiche: 
v— ı, - M (y Y)-i N —%)==0 
26. Zwei Gerade t und t,: haben einen Punkt gemeinsam, wenn: 
 M—-M,; 0 Qı 
INN Ruh 
=: 
III. Kurven doppelter Krümmung. 
a. Allgemeine Theorie. 
Il. Eine doppelt gekrümmte Linie ist gegeben durch die Gleichgn. zweier 
Flächen, deren Durchschnitt die Kurve darstellt: 
’@,y,J)=0 wd Fa y,2)=0 
bezw. durch die Gleichen. zweier Projektionen der krummen Linie auf die (X Y) 
und die (X Z) Ebene. 
y=o(a2), 2=d(x) 
9, Sind erstere Gleichen. gegeben und lässt sich die Herleitung der Gleichen 
für die Projektionen durch Elimination nicht durchführen, so ist zu benutzen 
or oF or 9 o/oF of 0) 
/y 0% 02 0: DE. rI02 0x 0Y 0% 0y 
da OF 9 a ende of 09/ 0f.07F 
0%y 0 0Yy 02 0Yy 02 0%.:.02 
ü BEFE dy is dz 
3. Gleichen. d. Tangente: 7 y= ——-(E- 2); S—2? () 
‘ da dx 
t. Gleiche. der Normal-Ebene (Ebene normal zur Tangente durch den 
Berührungspunkt)