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Zu 
470 Resultate aus der reinen Mathematik. 
  
ist = dem Produkt der absoluten Wahrscheinlichk. jedes einzelnen Ereignisses. 
Die Wahrscheinlichk., dass ein Ereigniss # mit der Wahrscheinlichk. W, p Male nach 
einander eintreffe, ist also = W*. 
Beispiel. Die Wahrscheinlichk. aus einer Urne, welche 3 schwarze und 5 weisse Kugeln 
enthält, im ersten Zuge eine weisse und, nachdem die gezogene Kugel zurück gelegt wurde, 
5 3 15 
eine schwarze Kugel zu ziehen, ist — — = —, 
8.8 64 
Die Wahrscheinlichk. in 5 Zügen jedesmal eine weisse Kugel zu ziehen, wenn die gezogen« 
5 55 3125 
Kugel stets wieder zurück gelegt‘ wird, ist ( ) — 0,095 . 
8 32768 
5. Die Wahrscheinlichk. für das Zusammentreffen zweier von einander ab- 
hängigen Ereignisse ist gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichk. des ersten 
Ereignisses und der Wahrscheinlichk., welche nach dem Eintreffen des ersten für 
das Eintreffen des zweiten noch vorhanden ist. 
Die Wahrscheinlichk., dass ein Ereigniss /7 mit der anfänglichen Wahrscheinlichk. 
> d y & . ” . r . 1 
W= —,p Male hinter einander eintreffe, wenn sowohl die Zahl der möglichen Fälle 
N 
als auch die Zahl der dem Ereigniss günstigen Fälle bei jeder Wiederholung sich 
um 1 vermindert, ist also: 
ala —1)(a—2)....(a—p-+) 
n(n—1)(n—2)....r—p-+]) 
Beispiel. Die Wahrscheinlichk., aus einer Urne, welche 3 schwarze und 5 weisse Kugeln 
enthält, beim 1. Zug eine weisse, beim 2. Zug eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn die gezorene 
5 3 15 
Kugel nicht wieder hinein gelegt wird, ist — TR 
8 7 56 
Die Wahrscheinlichk. 5 Mal nach einander eine weisse Kugel zu ziehen, wenn die gezorene 
5.4.3.2.1 120 
Kugel nicht wieder hineingelegt wird, ist - — 0,018 
BE 6720 
6. Sind « und £ die Wahrscheinlichk. zweier Ereienisse Z,, /%,, so ist die 
Wahrscheinlichk., dass in bestimmter Reihenfolge Z,,p Male, Z%,, 4 Male eintreten: 
W— a? pt 
Wenn die Reihenfolge eine beliebiee, so ist: 
Ben a 
1 - L x aP 59 (? l es dd q 
P*F: a, 
7. Sind nur die Ereignisse /, und /%, möglich, ist also 3 die entgegen gesetzte 
Wahrscheinlichk. von «, und «+ f=1, ferner y+gy=:, so ist die Wahrschein- 
lichk. des pmaligen Eintreffens von Z#, in beliebiger 1, z p 
: ae W- dl «) 
Folge bei z Versuchen: \p 
   
Es stellen also die einzelnen Glieder der Entwicklung von (« + #)° 
“ 2.(2 1) AL . y Bi 
a a eh > el @)?--.... die Wahrscheinlichk, des 
b.2 
pmaligen Eintreffens von Z für die verschiedenen Werthe von p dar. 
Werden « und = als geeeben betrachtet, so ist die Bedineune für W 
(2 l) « v3: +1) (p +1). Je grösser = ist, je mehr nähert sich die 
Bedingung für W „.. der Beziehung p an und W una. für p= un dem Werth 1. 
8. Die Wahrscheinlichk. für eine der verschiedenen möglichen Ursachen eines 
beobachteten Ereignisses ist ein Bruch, dessen Zähler die Wahrscheinlichk. ist, 
womit diese Ursache das Ereigniss herbei führt, und dessen Nenner die Summe 
der Wahrscheimlichk. der sämmtlichen möglichen Ursachen ist. 
Sind diese Ursachen nicht gleich wahrscheinlich, so muss man jede Wahrschein- 
lichk., mit der sie das Ereigniss herbei führt, mit der Wahrscheinlichk. der Ursache 
selbst, sowohl im Zähler wie im Nenner multipliziren. 
        
Beispiel. In einer Urne sind 2 Kugeln, deren Farbe unbekannt ist; in 2 Zügen, nach 
welchen die gezogene Kugel stets wieder zurück zele wurde, ist eine weisse Kugel gezogen. 
Es sind 2 Ursachen dieses Ereignisses möglich: nämlich, dass die Urne 2 weisse Kureln oder 
l weisse Kugel enthält. Die lte Ursache führt das 2malige Treffen der weissen Kugel mit deı 
Wahrscheinlichk. 1, die 2te Ursache mit der Wahrscheinlichk, ; herbei. Die Wahrscheinlichkeit, 
dass beide Kugeln weiss sind, ist daher - ‚dass 1 Kugel weiss ist . 
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