Tr 
EN 
N 
bt 
or 
ch 
lie 
lie 
ler 
)er 
bis 
en 
Ile 
ler 
ıch 
er 
len 
ner 
ben 
rch 
1SS, 
er 
)EN, 
be- 
(Ge- 
(ber 
ist. 
be 
ach 
uhe 
(den 
sich 
lage 
mit 
eine 
die 
’egt, 
inen 
. die 
sem 
ssirt. 
  
Schwingende Bewegung eines Punktes. 849 
\uf der andern Seite der Gleichgewichtslage sind es genau dieselben Kräfte, 
welche ihn verzögern; diese müssen daher durch genau dieselbe Weglänge « wirken, 
um ihm seine Geschwindigkeit zu nehmen; in dem Abstande « anselanet muss er 
deshalb unter Wirkung derselben Kräfte seine Bewegung umkehren, Der Punkt 
muss somit immer zwischen den gleichen Abständen von ‘der Gleichgewichtslage 
hin und hergehen. 
Zu jeder hin und hergehenden Bewegung, die wir zusammen als eine 
Schwingung bezeichnen, muss der Punkt immer dieselbe Zeit gebrauchen, da er 
immer denselben Wegunter Wirkung derselben Kräftezurück legt: dieSchwingungs- 
dauer ist konstant, die Bewegung eine regelmässig periodische. 
Die Dauer einer solchen Schwingung hängt bei einem gegebenen Punkte von 
der Grösse der wirksamen Kraft, oder allgemein von der Beschleunigung ab, welche 
das Bewegliche an den verschiedenen Stellen seiner Bahn erhält. In einem Falle, 
und zwar in dem bei den Schallschwingungen fast ausnahmslos realisirten Falle, ist 
die Dauer der Schwingung unabhängig von der Grösse der Schwingungs-Weite, nämlich 
dann, wenn die Grösse der den Punkt gegen die Gleichgewichtslage hinziehenden 
Kraft in jedem Momente dem’ Abstande des Punktes von seiner Gleichgewichtslage 
proportional ist. Denn da bei dieser Voraussetzung die Beschleunigung, welche der 
Punkt im grössern Abstande bekommt, genau in dem Verhältniss erösser ist wie 
der Abstand grösser ist, muss er in derselben Zeit auch einen in demselben Ver- 
hältniss grössern Weg zurück legen. Oder was dasselbe ist, die zur Vollführung 
einer Schwingung gebrauchte Zeit muss von der Grösse der Schwingung unab- 
hängig sein. 
Die schwingende Bewegung lässt sich in dem Falle durch eine sehr einfache 
Gleichung darstellen. Ist « der grösste Abstand von der Gleichgewichtslage, welchen 
der schwingende Punkt erreicht, 7’ die Dauer einer ganzen Schwingung, also eines 
Hin- und Hergangs und rechnen wir die Zeit von dem Augenblicke an, in welchem 
der Punkt gerade die Gleichgewichtslage passirt, so ist zu jeder Zeit £ der Abstand 
des Punktes von seiner Gleichgewichtslage gegeben durch: y= «a sin 2r p 
Die Gleichg. stellt, da der sin. von 0 bis 1 wächst, wenn { von O bis '/, T 
wächst dar, dass das Bewegliche im 1. Viertel der Schwingung sich aus der 
Gleichgewichtslage bis zu dem Abstande « von der Gleichgewichtslage entfernt, 
dass es dann zurück kehrt und nach wieder '/, der Schwingungsdauer die Gleich- 
gewichtslage neuerdings passirt. Denn wenn £ von !, 7 bis !/); T zunimmt, nimmt 
der sin. von 1 bis O0 ab. Im folgenden Viertel der Schwingungsdauer geht das Be- 
wegliche an der andern Seite der Gleichgewichtslage bis zu demselben Abstande «. 
der sin. ist sobald 2 > ’/; 7’ << T negativ; der negative Werth wächst bis l 
wenn, von !/; 7 bis ®/, T zunimmt; wenn £ von 3, 7 bis 7’ wächst, nimmt der 
negative Werth des sin. bis zu O ab; das Beweeliche kehrt im 4. Viertel der 
Schwingung wieder zur Gleichgewichtslage zurück. Von da ab wiederholt sich die 
Bewegung unausgesetzt und ist jedesmal zwischen t=n Tund !=(n-+-1) T dieselbe. 
Obige Gleichg. lässt sich leicht aus den Gesetzen der Mechanik ableiten; gleichzeitig ergiebt 
uns diese Ableitung die Grösse der Schwingungsdauer T. 
Unsere Voraussetzung, dass die Kraft ı), welche das Bewegliche gegen die Gleichgewichtslage 
hintreibt, in jedem Moment dem Abstande y desselben von der Gleichgewichtslage proportional 
ist, wird durch die Gleichg. dargestellt: py; worin auf der rechten Seite das negative 
Vorzeichen zu setzen ist, weil die Kraft immer der Richtung entgegen wirkt, nach welcher das 
Bewegliche aus der Gleichgewichtslage entfernt ist. Die Konstante p bedeutet die das Bewegliche 
zurück treibende Kraft, wenn der Abstand y der Einheit ist. 
Ist m die Masse des Beweglichen, so ist die demselben im Abstande y ertheilte Beschleunigung: 
P 1 x 2 i z a : 
g — y %?y. Ist » die Geschwindigkeit des Beweglichen in dem Augenblicke, in welchem 
„» 
es sich im Abstande y befindet, so ist die Beschleunigung gleich dem Differentialguotienten 
| 98 1 
. 1 g dv . . . » 
von » nach ? und wir erhalten zunächst die Gleichg.: Yy ; k2y. Multipliziren wir auf 
dt 
beiden Seiten mit dy und beachten, dass die Geschwindigkeit v» in diesem Moment durch den 
i dy dv dy 
Differentialquotienten gegeben ist, so wird: dy “ dv vd» -k2ydy, woraus durch 
dt a dt s 
Integration folgt: »2 k2 (a? y2), worin « jenen Werth vun y bedeutet, für welchen » 0 ist. 
Ziehen wir die Wurzel und schreiben »v als Differentialguotienten, so ist weiter: 
dy dy 
k Vo? y?; : kdt 
dt > > 
Va Y 
I. 54