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Entstehung der Töne und Klänge. 877 
der erzeugten Klänge hervor. Nicht minder hängt der Klang in einem Konzert- 
saale von der Resonanz des Bodens und der Wände ab. Allerdings kann man 
wohl kaum bei dem Bau eines solchen Saales auf diese Resonanz Rücksicht 
nehmen, so dass es bis jetzt mehr vom Zufall abhängt, ob ein Konzertsaal, wie 
man es nennt, eine gute Akustik besitzt oder nicht. 
XII. Entstehung der Töne und Klänge. 
Auf den Gesetzen der Reflexion der Wellen und der Bildung: der stehenden 
Wellen aus entgegen gesetzt sich fortpflanzenden Schwingungen beruht die Erzeugung 
der Klänge aller musikalischen Instrumente, ja aller tönenden Körper. Wir wollen 
für einen einfachen Fall die Erscheinungen ableiten — da wir nach diesem das 
Wesentliche für alle Fälle erkennen — nämlich für einen begrenzten Stab, in welchem 
wir longitudinale Schwingungen erregen. Der Stab sei an seinen beiden Enden 
frei und werde etwa in seiner Mitte gehalten; der Einfachheit wegen nehmen wir 
an, er werde durch Schlagen mit einem Hammer an seinem Ende in Schwingungen 
versetzt. Der Stab habe die Länge /; wir rechnen die Zeit i von dem Augenblicke, 
in welchem das geklopfte Ende seine Schwingungen beginnt. 
Die Schwingungen pflanzen sich in dem Stabe zum andern Ende fort, und 
werden dort, da das Ende nur mit der, gegenüber dem Material des Stabes äusserst 
wenig dichten Luft in Berührung ist, mit fast ungeschwächter Amplitude reflektirt 
und zwar ohne Wechsel des Vorzeichens, bezw. ohne Verlust einer halben Wellen- 
länge. Die von dem 2. Stabende zurück kehrenden Schwingungen setzen sich mit 
den vom 1. Ende ausgehenden, bezw. von diesem Ende wieder reflektirten Schwingungen 
zu stehenden Wellen zusammen und bewirken, dass der Stab in gewissen Theilungen 
in Schwingungen geräth. Die Schwingungen dauern fort bis durch die nach und 
nach stattfindende Abgabe der Bewegung an die Luft, durch welche der Schall 
von dem Stabe aus sich verbreitet, die in den Stab übertragene Bewegung ver- 
braucht ist. 
Die Bewegung irgend einer Schicht des Stabes, welche um x von dem ge 
klopften Stabende entfernt ist, wird zur Zeit ? nach dem Klopfen aus der den 
Abstand der Schicht von ihrer Gleichgewichtslage darstellenden Gleiche. erhalten. 
In, Folge der von dem geklopften Stabende direkt zu der Schicht gelangenden 
Bewegung ist der Abstand yı der Schicht von ihrer Gleichgewichtslage zur Zeit t: 
=. sin 2r| : - ) wenn « die Amplitude der Schwingung 7 die Schwingungs- 
dauer und A die Wellenlänge bedeutet. 
Die von dem andern Stabende zurück kommende Bewegung hat zu derselben 
Zeit begonnen, hat aber, um zu der Stelle x zu gelangen, erst die ganze Länge des 
Stabes und nach der Reflexion wieder die Strecke 2 — x durchlaufen müssen. Da 
die Amplitude der Bewegung durch die Reflexion keine merkliche Schwächung er- 
fahren, und da die Reflexion ohne Wechsel des Vorzeichens der Bewegung statt- 
gefunden hat, ist der Abstand der betrachteten Schicht von ihrer Gleichgewichtslage 
in Folge dieser Bewegung zur Zeit t: 9» = « sin 2x |, ). 
RT / 1 
Demnach wird die resultirende Bewegung dargestellt durch die Summe: 
Yy =2« c08 2r sin 2r(-;—-—), eine Gleichg., welche wie wir 
/ 7 ) ’ 2 
früher sahen, die stehende Bewegung darstellt, da der von der Zeit abhängige 
Faktor auf der rechten Seite für alle Schichten des Stabes, welche durch die 
verschiedenen Werthe von x gegeben sind, den gleichen Werth hat. Die Anzahl 
der auf dem Stabe sich ausbildenden stehenden Wellen hängt von der Schwingungs- 
dauer 7 und der Länge des Stabes ab. 
Welche stehende Wellen in dem Stabe sich überhaupt ausbilden können, 
ergiebt sich aus der Bedingung, dass an den Stabenden, weil sie nach unserer Annahme 
vollkommen frei sind, die Amplituden jedenfalls den grössten im Stabe möglichen 
Werth haben müssen. Dieser Werth ist 2«; sollen die Stabenden diese 
Amplitude haben, so muss sowohl für 2=0 als für #—=1! der Faktor: 
Be Y i l / i 
COS Zr —-+-] sein, es muss somit: cos 2r -1 oder 2x nr, also: 
1 / ) E