Mechanik fester Körper. 
a. Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. 
Ein System von materiellen Punkten befindet sich im Gleichgewicht, wenn an 
jedem einzelnen Punkte die Mittelkraft aller auf ihn wirkenden Kräfte = 0 ist. 
Daraus folgt unmittelbar der Satz: 
Für den Gleichgew. - Zustand eines Systems von materiellen 
Punkten muss die Summe der mechanischen Arbeiten aller auf die 
einzelnen Punkte wirkenden Kräfte bei einer gedachten, unendlich 
kleinen Verschiebung des Systems = 0 sein. 
Für das System von unveränderlich mit einander verbundenen 
Punkten, bezw. für den Gleichgew.-Zustand fester Körper ist die 
Arbeits-Summe der innern Kräfte und der äussern Kräfte je für 
sich = (0), voraus gesetzt, dass die gedachte unendlich kleine Verschiebung eine 
mögliche, d.h. mit den Bedingungen des Systems vereinbare, war. Dabei brauchen 
die Arbeiten derjenigen äussern Kräfte (wie die Widerstände fester Punkte, die 
Gegendrücke einer Bahnfläche, sobald dieselben stets normal zur Bewegungs- 
Richtung stehen und die Gegendrücke zweier beständig mit einander in Berührung 
stehenden Flächen) nicht mit in Rechnung gezogen zu werden, welche bei der 
gedachten Verschiebung des Systems entweder die Geschw. = 0 in der Richtung der 
Kraft besitzen, oder die, wie Druck und Gegendruck, paarweise auftreten, so dass 
die Summe ihrer Arbeit stets = 0 ist. 
?. d’Alembert’s Prinzip und Gesetz der Bewegung des Schwerpunkts. 
Befindet sich ein System materieller Punkte unter Einwirkung irgend welcher 
Kräfte in beliebiger Bewegung und sind in irgend einem Augenblicke die Be- 
schleunigungen eines Punktes m des Systems nach den 3 Koordin.-Axen-Richtungen 
u JE a 
dr rar „die 
3 genannten Richtungen wirken, so wird Gleichgewicht im System hergestellt 
werden, wenn man überall zu den vorhandenen Kräften die den betr. Beschleunigungen 
entsprechenden Kräfte in den den Beschleunigungen entgegen gesetzten Richtungen 
hinzu fügt. 
FErtheilt man alsdann dem ganzen System eine unendlich kleine Verschiebung, 
die auf Punkt m bezogen nach den 3 Koordin.-Axen in dx, dy und d> zerlegt 
werden kann, so wird nach dem Prinzip der virtuellen Geschw. die Summe aller 
nunmehr verrichteten mechanischen Arbeiten = 0 sein müssen; d. h.: 
während auf diesen Punkt die Kräfte N, Y und Z nach den 
9 
< d2x\ i d?y‘ 1 d?z 
3 | (X — Mm ne) d& + | Y—m di dyı \ Z—m 2 dz | 0) (1) 
Setzt man hierin der Reihe nach dy und dz=0; dx und d2=0 und dy und 
dz=0, so dass jedesmal der Körper eine Verschiebung nur in der Richtung einer 
der Koordin.-Axen erfährt, so wird: 
  
en d2x\ d?y\ d?2 
NN i :NS(VN)=N\% In» 2 (A)=N\N Zeh 2 
aa)=2 (m en x [m ge) ud 29-2 (Pr dt I 
Sind x, 0 und x, die Schwerpunkts-Koordin. des Körpers in dem 
betrachteten Augenblicke, so ist, wenn & (m) = M: 
Mi, 2m): My = &lhy)s. Mes 2(m2: (3) 
Durch zweimalige Differentiation nach der Zeit und Umformung mit Hilfe der 
y % 5 2x S(X) d2yo (ch) d?zu 3.(2) 
vcho (D)a . ee rer . ! REN E39 ESS SR 3 S 
Gleichg. (2) entsteht: et dert eek 
D. h. die Bewegung des Schwerpunkts eines Körpers findet so 
statt, als ob derselbe ein materieller Punkt der Masse M=X (m) des 
Körpers wäre und sämmtliche auf den Körper wirkende Kräfte inihm 
ihren Angriffspunkt hätten. 
Erfolgt die Bewegung des Systems ausschliesslich unter der Wwirkung von 
innern Kräften, 50 ist 2. (X) —=0; 2(N)=0;312) =.0,:und daraus Telgt: 
Er Konst.; ed Konst.; EN Konst. 
di dt Band 
D. h. der Schwerpunkt bewegt sich gleichförmig. 
      
    
     
    
    
      
   
  
  
  
  
    
    
   
  
   
    
   
   
   
  
     
    
  
  
   
    
  
     
     
  
    
   
     
        
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