12 Gemeinsame Grundlagen. 
folgt durch Addition 
+ E 
+l)-,= Be + r 
(m +1)-,=m le 
Mm 4 € 
mit m |; 
m-|]1l s; 
Ersetzt man HE durch 2 —. -:G, so erhält man 
Mm ? 
= 26 fe; Tr a: ea) und = 2Qle, = u = 
\ m— 1} m—1 
als Hauptspannungen in den Richtungen x und y. Unter Beachtung der Gleichung 
S. 71 oben sind die Dehnungen z zu ersetzen durch &e — a (£ — t,), so daß sich als 
Hauptspannungen ergeben, wenn der einfacheren Schreibweise wegen die Temperatur- 
erhöhung i — t, mit i# und die Wärmeausdehnungsziffer mit & bezeichnet wird: 
,=2G (e = a) at m. er = 2 2 | : 
(ı =) +(a& a) 
oo 24 |(e, a ) ee 
  
m—|1 
Nach einigen Umformungen erhält man 
© +8 m-|]1l 
= 26 e 4 un : _— 1 & ) i 
Mm — Mm — 
Be m-+1 
= 2a (r, an xt) 
m—l mi 
Beide Gleichungen enthalten vier Unbekannte o,, o,, &, und &,; es sind also noch zwei 
Bedingungsgleichungen erforderlich, die sich aus den Gleichgewichtsbedingungen er- 
geben. 
Wird ein Schnitt senkrecht zur x-Achse gelegt und werden die Spannungen als 
äußere Kräfte angebracht, so muß Gleichgewicht herrschen. 
Ein Querschnittsteilchen von der Dicke dz überträgt, wenn b die Breite der 
Scheibe ist, 0, 5b dz (kg). 
Da am abgetrennten Teil weiter keine Kräfte auftreten, verlangt die erste Gleich- 
gewichtsbedingung: Summe sämtlicher Kräfte in Richtung X gleich Null, 
d d 
b-/|0,.dz=0 oder |%.d2=0. 
o 0 
Ein Schnitt senkrecht zur %y-Achse liefert 
d d 
b- joy .dz2= 0 oder Iy-d2=0. 
o oO 
Ersetzt man o, durch den vorher gefundenen Wert und integriert aus, so wird 
x fo) ’ 
d 
ee er 
& + = ed. 
m—|1 m— | d, 
Oo 
In gleicher Weise wie vorher wird 
d 
. lid —t„, 
0 
  
        
   
       
    
   
  
    
   
  
  
     
    
  
  
    
    
   
    
    
    
   
     
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