167, 168 
Dritter Abschnitt. Grundlagen der Integralrechnung. 
Figur 56. 
Das Problem der Quadratur beliebiger Flächenstücke ist 
somit auf das der Quadratur von Normalflächenstücken zurück 
geführt. 
168. Die Grundformel der Quadratur. Es werde also jetzt ein 
Normalflächenstück AA' B' B (Figur 56) betrachtet. Sein Flächeninhalt 
sei F, das Kurvenstück AB habe die Gleichung 
y =/G*0‘ 
Da dieses Kurvenstück mit jeder Vertikalen nur einen Punkt gemein 
haben soll, so ist f(oc) eine eindeutige Funktion. 
Es sei ferner 0 A! — a, 0 B' = fr, daher 
A'A=f(a), B'B=f(b); 
/ («) und f (b) sind beide > 0, / (x) im ganzen 
Intervall > 0. Der Figur entsprechend möge 
a <C.b angenommen werden. Ferner sei die 
Funktion f(x) zunächst zwischen den Werten a 
und b monoton (134), sodaß also die Kurve A B 
entweder beständig steigt oder beständig fällt. 
In der Figur ist der erste Fall angenommen. 
Man teile nun die Strecke A'B\ die dem Intervall a^yb der 
Abszisse x entspricht, durch Zwischenpunkte in Teilintervalle (die 
einander nicht etwa gleich zu sein brauchen) und ziehe die zugehörigen 
Ordinaten. Hiedurch zerfällt die Fläche F in Streifen. In der Figur 
ist diese Zerteilung angedeutet. 
Nun betrachte man einen dieser Streifen; in Figur 57 ist ein 
solcher in vergrößertem Maßstab herausgezeichnet. Man ziehe an irgend 
einer Stelle der Basis des Streifens (es kann auch der linke 
oder der rechte Endpunkt dieser Basis gewählt werden) die 
Kurvenordinate; ferner ziehe man durch die Endpunkte 
dieser Ordinate, sowie der linken und der rechten Rand 
ordinate Horizontale. Die drei Rechtecke, die nach oben durch 
diese drei Horizontalen abgegrenzt werden, seien der Reihe 
nach -ß, Bi, B,- diese Zeichen sollen auch zugleich zur 
Bezeichnung der Flächeninhalte dieser Rechtecke dienen. 
Wie sofort zu sehen, liegt B zwischen Bi und B r oder es 
ist einem dieser beiden Werte gleich. Der Inhalt des Streifens liegt 
ebenfalls zwischen B/ und B r . Man kann daraus schließen, daß der 
Inhalt des Streifens sich von B jedenfalls nicht um mehr unterscheidet, 
als der Unterschied der beiden Rechtecke Bi und B r ausmacht. Dieser 
Unterschied hat eine einfache geometrische Bedeutung; er ist das kleine 
in der Figur schraffierte Rechteck. 
Figrir 57.