564 Zur mathematischen Physik. A. Lineare Differentialgleichungen.
zuschreitet, bei x == 1 annimmt. Dieser Wert ist dann freilich immer un-
endlich; aber es wird unterschieden werden können; ob er positiv oder
negativ unendlich ist. —
Wir handeln ferner von den verschiedenen Lösungen, welche unsere
Differentialgleichung in der Umgebung des Punktes x = 0 besitzt:
Ist z keine ganze Zahl, so existiert daselbst neben /F eine zweite
Partikularlösung &@, die wir in die Form setzen können
(20) G=—x1-n.B(zx),
unter (x) eine nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreitende
Reihe verstanden, in welcher das konstante Glied (das Glied nullteı
Dimension) von Null verschieden ist. Dieses @ wird also für x =0 un-
endlich, sobald 1— nn <0, dagegen Null, sobald 1— nn > 0. — Ist aber n
ganzzahlig (was nach der gerade gemachten Bemerkung n > 0, also
1—n2<0 bedingt), so tritt neben F eine Partikularlösung @&, deren
analytischer Ausdruck einen Logarithmus enthält, und die daher für x = 0
jedenfalls unendlich wird. — Hiermit halten wir zusammen, daß F selbst
für x =0 gleich 1 ist. So folgt:
Ist (1—n)<O0, so wird bei x =0 © unendlich, ist (1 —n)>0.
So
F
zz
Wir erinnern uns jetzt der Formeln (18), (19) für X und der Be-
deutung, welche wir der Zahl X in $1 und $2 erteilten. So haben wir
offenbar den Satz:
Für (1—n)<0 verschwindet F, für (1 —n)>0 verschwindet 6
im Inneren des Intervalls 01 genau X-mal.
Hiermit ist die Frage nach der Zahl der Nullstellen von F nur erst
im Falle (1 — n) <0 entschieden, im anderen Falle können wir nach 8 1
vorab nur erst sagen:
Ist (1—n)>0, so ist die Anzahl der Nullstellen von F im Inter
valle 01 entweder X oder X +1.
Zwischen den beiden hier vorliegenden Möglichkeiten. unterscheide ich
nun durch eine Hilfsbetrachtung, indem ich nämlich das Verhalten der
Lösung F unserer Differentialgleichung und einer anderen linear unab-
hängigen Lösung, die wieder @ heißen soll, bei x = 1 in Betracht ziehe
In dieser Hinsicht können wir nach $ 1, 2 jedenfalls sagen:
Satz 1: Wird £ bei x==1 unendlich, so hat F im Intervalle 01
genau X Nullstellen.
Die Bedeutung der Charakteristik X eines Intervalls bleibt nämlich
dieselbe, mögen wir das Intervall mit seinem einen oder seinem anderen
