R) Relative Maxiraa untl Minima. 
$• i3. 
Die Auf gäbe tler relativen Maxima und Minima besteht 
im Allgemeinen darin; unter allen Relationen zwi 
schen x u n d y, bei welchen das bestimmte In- 
C x " 
tegral | U' einen gegebenen Werth A unver 
ändert bei behält, diejenige aufzufinden, für 
welche das Integral fU innerhalb derselben 
Grenzen von x = x* b i s x — x" genommen, ein 
Maximum oder Minimum wird. 
D ieses Problem wird aufgelöst, indem man von der 
Function fU -{- afU / , wo a einen constanten unbestimm 
ten Factor bezeichnet, nach dem Vorhergehenden das ab 
solute Maximum oder Minimum bestimmt, nämlich die 
Variation dieser Function gleich Null setzt. Denn hat man 
jene Relation zwischen x und jk gefunden , für welche diese 
Function ein Maximum oder Minimum ist, so ist zu glei 
cher Zeit, da für alle übidgen Relationen f[J / (der Redin- 
gung gemäi's) immer denselben Werth Ä beibehält, auch 
fU selbst ein Maximum oder Minimum. Der unbestimmte 
Factor a dienet, die Gleichung fU / = A zu erfüllen, 
und er wird aus dieser gegebenen Gleichung selbst be 
stimmt. *) 
geleistet hatte, endlich auf die Erfindung der Variations 
rechnung durch Lagrange führte. 
*) Die Regel, dafs man in diesem Falle für die Function 
afU' das absolute Maximum oder Minimum su 
chen müsse, wurde schon, vor Erfindung der Variations 
rechnung von Euler gegeben. 
Allgemeiner noch läfst sich das vorliegende Problem so 
aussprechen : den unbestimmten Integralausdruck zwi 
schen den gegebenen Grenzen x=.x', x = x"zu einem Ma 
ximum oder Minimum zu machen, so, dafs zugleich eine 
willkührliche Anzahl von gegebenen Integralausdrücken: 
JZ7', fU" , fU'", • • • zwischen denselben Grenzen genom 
men, die constanten gegebenen Werthe : A‘, A" , A“', . . . 
erhalten. Auch hier mufs man zur Auflösung dieses Pro 
blems für den Ausdruck 
fU + a'fü' -f a"fÜ‘' + a'"fÜ"" + • • . 
zwischen den gegebenen Grenzen das absolute Maximum