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Die Kreisfunctionen und ihre Ableitungen. 33
r (11) •
Die Kreisfunctionen mit complexem Argument und ihre
Ableitungen 1 ).
“geehrte
^it, mit
' ^nierkung
lb des Con-
ffttr
10. Die Exponentialfunction und die trigono
metrischen Functionen.
Die unendliche Potenzreihe
1 + * + Ä + -'.- + iT + --- (1)
eonvergirt beständig. Denn ersetzen wir in ihr x durch
seinen absoluten Betrag X, so erhalten wir, wie auf S. 102
er girt, so
e f(* + i)
d. I. T. bemerkt ist, eine beständig convergente Reihe und
zwar ist ihre Summe die reelle Potenz e x . Bezeichnen wir die
Summe von (1) für einen Augenblick mit E(x), so ist zu-
(18)
folge (5) in Nr. 8
D x E (x) = E(»)
iflgemeiuei
r on x. Da
1 gegeben
imgekehrte
ägt es hier
rd erhalten,
und daher allgemein für jeden der Werthe m — 1, 2 • • •
m eo) = e(4
Nach (4) in Nr. 8 ist demnach
CO
+ V) = E(x) + V m = E ( x ) ’ E (y)-
i
Die Function E(x) hat also dasselbe Additionstheorem, wie
die Exponentialfunction e x bei reellen Exponenten. Deshalb
bezeichnen wir die Summe E(rr) der Reihe (1) auch bei
ordnet and
= einander
m man die
Formel (13)
complexen Werthen von x als die Exponentialfunction.
Von den im Allgemeinen unzählig vielen Werthen der
Potenz e hoch x ist, wie wir in Nr. 13 sehen werden,
E (x) der Hauptwerth. Ihn allein werden wir stets unter
dem Symbol e x verstehen. In diesem Sinne sind also die
Formeln
iass u gleich
he g{x +»),
i der Strecke
1) Diesen Gegenstand hat Cauchy ausführlich im IV. Bande
(1847) der Exercices d’Analyse (S. 232—307) behandelt. — Als „Kreis
functionen“ lassen sich eigentlich nur die trigonometrischen Functionen
und ihre Umkehrungen bezeichnen. Nachdem sich aber, wie die For-
.*)). Lässt
ler Stetigkeit
ie Gleichung
mein (7) und (29) unten zeigen, die Exponentialfunction und der
Logarithmus durch die erstgenannten Functionen, falls man nur das
Argument complex sein lässt, rational ausdrücken lassen, so hat man
die Bezeichnung „Kreisfunction“ auch auf sie übertragen.
Stolz, Differential- u. Integralrechnung. II. 3
