§ 10. Die PoissoN’scbe und LAGRANGE’sche Formel. 
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2 1 dp/ db dq/ db da dp/ da dq/ 
t . =l \ dt dq/ dt dp/ dq/ dt dp/ dt 
+ ((a,H)b)-((b,H)a) = 0. 
folglich geht mit Hilfe von 20) die Gleichung 23) über in: 
Diese Gleichung entstellt aber sofort aus 19), indem man (a, b) 
statt a setzt und ergiebt sich so der Poissonsche Satz, welcher lautet: 
25) Sind a und b zwei Integrale des Systems 9), so ist (a,b) 
ebenfalls ein Integral desselben Systems. 
Ueberträgt man denselben auf das System 8), so ergiebt sich: 
Sind a und b zwei Integrale des Systems 8), so ist auch: 
ein Integral desselben Systems. 
Der PoissoN’sclie Satz liefert also sofort aus zwei Integralen ein 
neues und zwar durch blosse Differentiation. Allerdings kann 
dieses eine Function der beiden gegebenen sein und es kann sich 
auch auf eine blosse Constante oder 0 reduciren. Es kann aber 
auch in Wirklichkeit ein ganz neues Integral sein. In diesem Falle 
kann man es wieder mit den beiden ursprünglichen combiniren und 
erhält zwei weitere Integrale. Indem man in derselben Weise weiter 
geht, kann man immer neue Integrale herleiten, bis man schliesslich 
auf solche stösst, welche aus den schon vorhandenen zusammengesetzt 
sind. Es kann sein, dass dies erst geschieht, wenn man die ge 
brauchte Anzahl 2 n erreicht hat, es kann aber auch der Kreis sich 
früher schhessen. Die folgenden Untersuchungen werden diese inter 
essanten Umstände vollständig erleuchten. 
Als Anwendung des PoissoN’schen Satzes wollen wir aus zwei 
Flächenintegralen das dritte ableiten. Es ist hier: 
((5, H), a) = (- ( H , b ), o) = - ((H, b), a), 
24)