106 II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Ist ferner b x eine denselben Bedingungen wie b genügende Func 
tion der a, so folgt ebenso: 
Nach diesen Vorbereitungen, welche beweisen, dass man die 
Poissonsche Verbindung von „Functionen von Functionen“ so 
fort auf diejenigen der ersten Functionen zurückführen kann, nehmen 
wir an, es sei 04 eine beliebig gegebene Function der p { und q { . Dann 
lässt sich eine andere Function ßj der p { so bestimmen, dass: 
Denn diese Gleichung wird in Bezug auf ß x eine lineare partielle 
Differentialgleichung erster Ordnung mit den p { und q t als unab- 
die volle Willkür der Theorie dieser Gleichungen walten lassen. Es 
sei nun ß a auf irgend eine Weise fest bestimmt. 
Die partielle Differentialgleichung: 
für eine dritte Function b hat (2 n —1) unabhängige Integrale, und 
ist dann das allgemeine Integral eine willkürliche Function derselben. 
Als eines dieser Integrale kann man <x x selbst wählen, da identisch 
(a x , aj = 0. Es seien b x , b 2 , . . . bz n —2 die (2 n — 2) übrigen un 
abhängigen Integrale von 4). Setzen wir in die Fundamentalrelation 
20), § 10, für f, 9, vjj die Functionen a 1? ß a , b, so erhalten wir so 
fort (wegen 3 und 4): 
d. h. (ßj, b) ist auch ein Integral der partiellen Differentialgleichung 4) 
für b. Die (2 n — 2) Ausdrücke (ß 17 b x ) . . . . (ß x , & 2 «—2) hängen also 
lediglich von a x , b i , .... ¿2«-2 ab. Es sei c eine beliebige Func 
tion dieser (2 n —1) Elemente. Dann folgt aus 1): 
Da die Coefhcienten nur Functionen von a x und b l: ... b n sind, 
so ist die Gleichung 
Oi, ßi) = i- 
hängigen Variablen und kann man daher bei der Bestimmung von ß 
01,&) = 0 
Oi>(ßi> & )) = 0, 
(ßi c) = 0