§12. Das kanonische System von Integrationsconstanten.
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tiellen Differentialgleichungen, welche der Invariantentheorie zu Grunde
liegen*), verdient die grösste Beachtung.
Uebrigens liegt eine Lösung der Gleichungen 12) ohne Weiteres
zu Tage. Sie wird erhalten, wenn man a;. = pi , = q\ (X = l y
2 , n) setzt.
Man kann diese Untersuchungen nun sofort auf die Integrale der
Differentialgleichungen 9), § 10, anwenden, wenn man formell noch
eine neue Variable t einführt, welche mit den , q { und t zusammen
2 n + 2 Variable bildet und setzt:
H' = H + t,
so dass also in II nur die p», qi und t enthalten sind. Führt man
noch die Bezeichnungen t = q 0 , ~ = p 0 ein und betrachtet IV als
die in 3) beliebig angenommene Function cc 1 der p und q, so geht
die partielle Differentialgleichung 3) über in:
dA dH' dA \
dqi dqi cp { )
-'S'Y— dA —— dA ) dH dÄ dA
dqi dqi dpi ) dt d'z dt r
welche die p und q als unabhängige Variable und A als abhängige
besitzt. Sie wird sofort erfüllt für A = t — q 0 .
Die Gleichung:
0 = (H', a )
hat (2w-f-l) von einander unabhängige Lösungen. Die eine der
selben ist II' selbst und die übrigen 2 n kann man so wählen, dass
d ei
sie sämmtlich von t unabhängig sind. Denn setzt man = 0 r
so geht die Differentialgleichung 0 = (a, IV) über in:
13) 0 = (a, -H) +
Diese Gleichung ist widerspruchslos, weil in ihren Coefficienten
das Element z nicht enthalten ist. Sie ist aber genau wieder die alte
Gleichung 19), § 10, welche die 2 n Integrale des Systems 9) definirt.
Für den angegebenen Werth von A ist ausserdem auf der Stelle:
0 = (^,a)=2
dA da
tèi d ? i df v
dA da
dqi dpi
*) Vergl. Aronhold: Ueber eine fundamentale Begründung der Invari-
antentheorie. Berlin 1863.