-110 IT. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Wir wollen, um den Nerv der Betrachtung ganz deutlich hervor 
treten zu lassen, noch für. einen Augenblick H' = a 0 , A = t — ß 0 
setzen, so dass (a 0 , ß 0 ) = 1 und allgemein (a 0 , a) — (ß 0 , d) = 0. 
Hieraus folgt endlich: 
Nimmt man ein System von 2 (n-f- 1) Variablen p { , q { , (i= 0, 
. . . n) an und bestimmt 2 (n +1) Functionen a 0 , . . . a w , ß 0 , . . . ß M 
so, dass sie den Bedingungen 12) genügen, so kann man zunächst 
im Speciellen a 0 — H' — H -j- p 0 , ß 0 = q 0 setzen, worin II von q 0 
unabhängig, sonst aber eine willkürliche Function der p und q ist. Es 
wird dann die Gleichung (a 0 , ß 0 ) = 1 von selbst erfüllt. Die übrigen 
Functionen ol x , . . . a„, ß 1? ... ß n kann man dann so wählen, dass 
sie von ß 0 unabhängig werden. In den Verbindungen (oy, ß u ) dieser 
2 n Functionen treten dann die Diiferentialquotienten nach p 0 und q 0 
nicht auf. Setzt man endlich noch p 0 — t, q 0 = t, so genügen die 
a lf ... a n , ß 1? . . . ß„ der partiellen Differentialgleichung 19), § 10, 
für a. Sie sind also Integrale des Systems 9), § 10, welche den Be 
dingungen 12) dieses Paragraphen genügen. 
Die LAGEANGE’schen Verbindungen [a;., a^] ergeben sich übrigens 
der Gleichungen 54) und 55) mit Rücksicht auf 64) und 65), § 10, 
wegen in der Gestalt: 
14) 
■ [oc;., ß;.J = 1, 
[a h ß^] = 0 C A < 9-)? 
. [ai, a^] = [ß;., ßj = 0. 
Wir wollen von jetzt an die 2 n Integrale a 1? . . . a M , ß lf ... ß„, 
welche den Bedingungen 12) genügen, ein System kanonischer Inte 
grale, oder auch, da diese mit der Zeit t sich nicht ändern, ein 
System kanonischer Integrationsconstanten nennen. Unter diesen giebt 
es eins von ausserordentlicher Einfachheit, welches man erhält, wenn 
man a i =p i ' 7 ß t - — q/ setzt, wo pi und q/ diejenigen Werthe (An- 
fangswerthe) von p { und q,- bedeuten, welche diese letzteren für einen 
bestimmten Zeitpunkt t' der Zeit t annehmen. Die Gleichungen 14), 
§ 10, werden hier: 
15) | Pi = Pi (Pi • • • Pn, q x ' • • . qn , t, t') 
\ P = qi (Pi • • • Pn, q x ' • • • qn, t, t') 
und ihre Auflösungen 15), § 10, nach den p/, q{ : 
16 v i Pi =Pi (Pl • • • Pn, 2l • • • In, t', t) 
I qi — qi (pi . . . p n , Ii • • • ( ln, t, f),