118 IL Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Es ist nämlich, wenn P 1 und P 2 für einen Augenblick irgend 
zwei der p und q bezeichnen, der Ausdruck: 
entweder = 0 oder = 1, je nachdem P 1 und P 2 von einander ver- 
Differentialquotienten der a und ’ ß ihre Werthe aus 11), so erhält 
man sofort: 
wo die PoissoN’schen Ausdrücke 12) aus den früheren durch unmittel 
bare Vertauschung der a und ß mit resp. p und q entstehen. Hier 
aus folgt das wichtige Resultat: 
Durch Auflösung eines Involutionssystems nach den ursprüng 
lichen Variablen erhält man wieder ein Involutionssystem. 
Schliesslich wollen wir noch folgenden Satz ableiten: 
Ist ein Involutionssystem a,-, ß» der ursprünglichen Variablen pi , qi 
gegeben und bildet man ein zweites Involutionssystem A i} Bi der a f , ß,-, 
so ist dasselbe zugleich ein Involutionssystem der pi und q t , wenn man 
die Ausdrücke der a } -, ß ; durch die q { einsetzt. 
Dies folgt unmittelbar aus der Gleichung 2), § 12: Bezeichnet 
man mit (Ai, 5«)«^ den PoissoN’schen Ausdruck, wenn man a, ß 
als unabhängige Variable ansieht und mit (Ai, Bu)p, q denjenigen, für 
welchen p und q diese Rolle spielen, so folgt sofort aus dieser 
Gleichung: 
womit der Satz bewiesen ist. 
Aus der Gleichung 13) ergiebt sich noch folgendes allgemeinere 
Resultat: Die Poissofrsche Verbindung irgend zweier Functionen 
a l , a 2 der p), q { , nämlich: 
bleibt ihrer Form nach unverändert, wenn man auf die p i} qi eine 
kanonische Substitution anwendet. 
Nach diesen Vorbereitungen schreiten wir zu der Aufgabe, die 
partiellen Differentialgleichungen (1—3) vollständig zu integriren, d. ln 
die allgemeinste Form des kanonischen Systems zu bestimmen: 
0P X 0 oq , ?P X 0 a 2 , 
7\r* ‘ 7\ P I ' V T> r 
0oq 0P 2 ' 0a 2 0P 2 
i 
dßx 
schieden oder einander gleich sind. Setzt man in dieselben für die 
12 ) 
(Ph p) = 
(Ph^) = 0, X>p., 
(PAP*) = (qx, q/0 = 0, 
13) 
(Ai , P^)«, ß -— (Ai , B^p, q ,