120 II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Multiplicirt man die Gleichung 18) mit P r ,x ■ Po,fi, wo r und p 
beliebige Indices (zwischen 1 und n) bedeuten, lässt X und ¡x alle 
möghchen Werthe annehmen und summirt die entstehenden Glei 
chungen, so folgt: 
Jede der dreifachen Summen kann nun auf eine einfache Summe 
zurückgeführt werden. Summirt man links erst nach dem Index X, 
so ergiebt sich: 
oder nicht = r ist. Die linke Seite der obigen Gleichung geht also 
über in: 
In gleicher Weise findet man die rechte Seite, wenn man zu 
nächst nach ¡x summirt: 
Ersetzt man die beiden Summationsindices X und ¡x endlich durch i, 
schreibt statt r und p resp. X und jx, so erhält man schliesslich: 
und hieraus folgt der interessante Determinantensatz: 
Hat eine Determinante q ) die Eigenschaft, dass ihr Product 
mit einer zweiten Determinante bei Combination der Horizontalreihen 
eine symmetrische Determinante bildet, so ergiebt ihr Product mit der 
conjugirten Determinante der letzteren ebenfalls eine symmetrische 
Determinante, wenn man ihre Vertikalreihen mit den Horizontalreihen 
dieser conjugirten componirt. 
Von diesem Satz können wir nun unmittelbar eine sehr folgen 
schwere Anwendung auf unser System von Differentialgleichungen 
machen. Betrachtet man in 14) die q nur als Parameter, so ist 
eine Functionaldeterminante. Löst man nun 14) nach den p auf, so 
dass wir die p durch a und q ausgedrückt erhalten: 
21) pi = pi (iX^, Ct ~2 , . • • CC n j §1 j • • • p») (i == 1; 2, ... n), 
so ist Fp die Functionaldeterminante des Systems 21) und also: 
2 px, i q^i, i I r, X Pq, {.i — Pp, i qx, i Pr, X Po, fi • 
(pi,« • Pq,(i • ^ PX,i • Pr,x). 
Nun ist N px, i P r , x entweder = 1 oder = 0, je nachdem i — r 
y' P-, q • Pr, o • 
20 ) 
^ Pi X • P/u, i ■ ^ p, fi • Px , i 
22)