§ 14. Die Eigenschaften der Involutionssysteme. 
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Die Differentialquotienten sind liier eingeklammert, um sie von 
den früher in 9) und 10) angewendeten, die von ihnen offenbar ganz 
verschieden sind, zu unterscheiden. Setzt man 14) in 21) ein, so 
muss identisch pi = pi resultiren. Differentnrt man in diesem Sinne 
21) nach einem Parameter q/, so folgt: 
«-(g0+?(fe) 
tan die beiden Indices г 
»-(©+?(© 
c)a;. 
üqi J ' Thea;./ 'bqi 
Vertauscht man die beiden Indices i und % 
ebenso: 
<>Pi\ daz 
dq { 
so ergiebt sich 
Die Summen in diesen beiden Gleichungen sind nun nach 20) 
einander gleich. Es folgt also: 
23) 
Diese Gleichungen sagen aus, dass die rechten Seiten von 21) 
die partiellen Differentialquotienten einer Function: 
24) V = V (oq, cq, . . . а и , q X) q% } . . . q n \ 
nach den q sind, derart, dass: 
dV 
25) pi = (} ~ • • • n )‘ 
Da nun rückwärts aus den Gleichungen 23) die Gleichungen 15) 
folgen, so ergiebt sich, dass die Gleichungen 15) die nothwendigen 
und hinreichenden Bedingungen darstellen, damit die Auflösungen der 
Gleichungen 14) nach den p diese als partielle Differentialquotienten 
einer Function V nach den q ergeben. 
Man hätte aber auch können die p mit den q vertauschen, d. h. 
in 14) die q entwickeln: 
26) qi = qi (oq, . . . a n , p 1} . . . p n ), 
und würde dann genau ebenso gefunden haben: 
27) qi — ( 1 — 1? 2, ... n ). 
Nun müssen offenbar die Gleichungen 26) die Umkehrungen von 
25) sein und folgt daher das Resultat. 
Bezeichnet man die partiellen Differentialquotienten einer Func 
tion V der q x , . . . q„ mit p lf ... p n und drückt umgekehrt die q