122 II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
durch die p aus, so werden sie die partiellen Differentialquotienten 
einer Function W nach den p. Diese Function ist leicht zu bestim 
men und beruht hierauf die sogenannte LEGENDEE’sche Substitution. 
Löst man das erste System der Gleichungen 8) nach den ß auf: 
28) ßf — ß» (oq, oc 2 , . . . oc M , p x , . . . Pn)j 
so giebt es der Gleichungen (px, p, Ä ) = 0 wegen eine Function: 
29) W' = W’ (oq, a 2 , . . . <x n , p x , . . . p n ) 
derart, dass: 
ßi = 
cW' 
'àcci 
Man kann nun aber noch weiter gehen. Bildet man in 26) die 
Differentialquotienten > s0 sind dieselben die früheren Grössen 
Qi, i und diese sind die Unterdeterminanten des Systems D a , q in 19). 
Bildet man ferner in 28) die Differentialquotienten (^47), s0 sind 
dieselben ebenso die Unterdeterminanten des Systems: 
dp x 
Zpn 
®ßl 
®ßi 
Zpl 
'àpn 
bß„ 
bß w 
Diese Determinante geht aber der Gleichungen 11) wegen sofort 
in D a ,q über, nur dass alle Elemente mit einem negativen Vorzeichen 
genommen werden müssen. Es ist daher: 
/ Zqi \ = _ 
\0a< / 
V dp, > 
also wegen 27) und 30): 
$*(W+W') 
oder: 
'èpi d a.i 
Es ist also W -J- W von der Form: 
W 4- W' = 9 !<>!,... Pn) + 92 
n). 
a«), 
. . p n ). 
1F— 9 2 (oq, . . . a„) = — (W' — 9i (p x , 
Weil in 27) nur nach p differentiirt wird, kann man 9 2 von W sub- 
trahiren. Entsprechendes gilt nach 30) für W. Dann folgt: