§ 15. Kanonische Umformungen von Differentialgleichungen. 
123 
31 ) W' — — w 
und sind wir damit zu' dem Endresultat gelangt: 
Sind ct tf ßi ein Involutionssystem der p { und q { : 
i <X.i = CLi (Pi, • • • Pni in • • • i»)> 
[ ßi = ßi (.Pi , • • • P ») in • • • i«)? 
und werden die ß und q durch die a und p ausgedrückt, so 
erhält man: TTT . ^ Tir 
dW 0 dW 
33) i» = VT—’ ßi — —’ 
dpi 
dq { 
wo W eine Function der a und p bedeutet: 
34) W — TI (ot x , . . . oc re , p x , • • • Pn)i 
und umgekehrt ergeben die Gleichungen 33) ein Involutions 
system, wenn man dieselben nach den a< und ß« als Unbe 
kannten auflöst. 
Hiermit ist die Integration der partiellen Differentialgleichungen 
1 — 3 formell erledigt, insofern sie auf die Wahl einer beliebigen 
Function W und darauf auf eine reine Elimination zurückgeführt 
worden ist. 
§ 15. 
Kanonische Umformungen des kanonischen Systems von 
Differentialgleichungen. 
Wir betrachten wieder das System: 
1) 
dpi dH 
dt dqi 
dqi dH 
dt dpi 
(* = 1, 2, . . . n), 
und wollen auf dasselbe eine sogen. Berührungstransformation 
der Pi, qi in neue Variable Pi, Qi an wenden: 
I Pi Pi (.Pli • • • Pn} 2i> • • • 2*0 > 
I Qi = Qi (p x , . . . Pu, q x , • • • 2*0? 
j pi = pi (P x , • • • Pni Q x , • • • Qn)i 
i qi =■ qi {P\i • • • Pnj Q x , • • • Qn), 
wo 3) wieder die Auflösungen von 2) sind. Ihr Name stammt von 
geometrischen Untersuchungen her und besteht sie in der Anwendung 
eines Involutionssystem.es, für welches 
4 ) (Px, Qx) — 1 
und alle übrigen PoissoN’schen Verbindungen = 0 sind. Aus 2) folgt: