§ 16. Die Hamilton- J ACOBi’sche partielle Differentialgleichung. 129 
dH 
Bei der Bildung von —— ist der Ausdruck 5) zu Grunde zu 
dpi ' 
legen. Differentiirt man aber 6) nach p t , welches hier doppelt ein 
geht, insofern es auch imphcite in W enthalten ist und bezeichnet 
man den partiellen Differentialquotienten von 6) nach p { zum Unter- 
dH\ 
schied von dem vorigen mit ? so folgt somit: 
/ dll \ _ dH dH dqi 
\ dpi ) dpi d qi dpi ' 
und durch Einführung in die vorige Gleichung nimmt diese die ein 
fache Gestalt an: 
7) 
(i = 1,2,... ri), 
wo H jetzt in der Gestalt 6) anzusetzen ist. 
dass der Ausdruck: 
8 ) 
dW 
dt 
H — 
A 
Die Gleichung 7) beweist, 
von den pi ganz unabhängig ist. Man kann nun weiter gehen und 
nachweisen, dass er auch die a f nicht enthält. Differentiirt man 
nämlich 8) nach aso folgt: 
dA dH dqi d 2 W 'sri dpi 
Sa i dqi d(Xi Sa { dt ^ dt dpi dt 
Die rechte Seite ist aber = 0, weil sie den totalen Differentialquo- 
, . dW 
tienten von 
ist daher: 
9 ) 
Sa,- 
also einer Constanten nach der Zeit darstellt. Es 
S W 
dt 
0 
dcu 
Die Gleichungen 7) und 9) beweisen, dass der Ausdruck 8) eine 
reine Function der Zeit t ohne jede willkürliche Constante wird. Man 
kann aber diese Function f(t) noch von H subtrahiren, weil sie in 
den Differentialgleichungen 1) verschwindet. Es ergiebt sich dann: 
10 ) 
0 
STE / 
= "s T + H \ Pl ’ 
Pn 
dW 
dp x ’ 
s w 
dp n ’ 
*)■ 
Diese Gleichung, mit den p und t als unabhängigen Variablen 
und W als zu bestimmender Function, ist die HAMiLTON-JACOBi’sche 
partielle Differentialgleichung. 
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