§18. Die Hamilton- JACOEi’sche partielle Differentialgleichung. 145 
Der Nenner kann mit Leichtigkeit umgeformt werden in: 
(x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y' 2 -f z’ 2 ) — {pcx + yy + zz') 2 
[(r -j- r) 2 —• p 2 ] [p 2 — (r — r ) 2 ] 
andererseits folgt aus 16): 
Setzt man diesen Werth in die obige Gleichung ein, und multi- 
und da X ebenfalls in Bezug auf x, y, z linear ist, so erhalten wir 
eine Endgleichung von der Form: 
welche nichts anderes ist, als die Gleichung 25), § 1. 
Es ist auch nicht schwer, die anderen Gleichungen desselben 
Paragraphen zu verificiren, wenn auch a priori Niemand umgekehrt 
aus den in § 1 aufgestellten Formeln die merkwürdigen Gleichungen 
17) und 18) abgeleitet haben würde. Man sieht an diesem Beispiel, 
wie man durch eine allgemeine Theorie einem speciellen und längst 
durchforschten Problem eine neue und ohne Kenntniss der Theorie 
höchst überraschende Seite abgewinnen kann. 
Man kann, wie Jacobi gezeigt hat, die partielle Differentialglei 
chung 4) noch auf andere Weisen integriren, und so die Lösung des 
Problems in einer sehr grossen Mannigfaltigkeit von Formen dar 
stellen, die man schwerlich auf anderem Wege entdeckt haben würde. 
Schliesslich wollen wir noch eine einfache geometrische Bedeu 
tung der Wirkung für den Fall einer KEPLEn’schen Ellipse aufsuchen, 
wie sie in einer kurzen Notiz (T-note on the action in an elliptic orbit) 
in dem Quaterly Journ. of Math. 1866 angegeben ist. 
Bezeichnet man die Geschwindigkeit des Planeten in P (siehe 
Figur Seite 14) mit v, so ist: 
> so ergiebt sich: 
2r'. X 
^ p 2 — {r — r') 2 ’ 
oder: 
Nun ist endlich: 
p 2 — r 2 — r' 2 = — 2{xx' -f- yy' -j- zz'), 
r — ax -\- by -j- cz -}- d, 
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