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I. Abschnitt. Lösung des Problems zweier Körper.
Die Gleichungen 11) sagen dann aus, dass die Projectionen
der von dem Radiusvector nach der Sonne durchlaufenen Flächen
räume den Zeiten proportional sind. Für die Zeiteinheit sind diese
Grössen Hieraus folgt, dass diese Flächenräume selbst
ebenfalls den Zeiten proportional und dass für die Zeiteinheit diese
Flächenräume = sind, wo c eine Abkürzung ist für:
z
12 )
c = V c \ + c t +
Uebrigens pflegt man den Ausdruck y
dz
dt
— 0 mit dem
dt
Moment der Geschwindigkeit in Bezug auf die x Achse zu bezeichnen;
ausser der oben angegebenen geometrischen Bedeutung hat es noch
die andere, leicht aus jener fliessende, dass es gleich dem Product
aus der Projection der Geschwindigkeit auf die yz Ebene mit dem
vom Anfangspunkt auf dieselbe gefällten Lothe ist. Entsprechendes
gilt für die analogen Ausdrücke. Die Quadratwurzel aus der Summe
der Quadrate derselben ist gleich dem Moment der Geschwindigkeit
in Bezug auf den Anfangspunkt, d. h. c ist gleich dem Producte aus
der Geschwindigkeit und dem vom Anfangspunkte auf dieselbe ge
fällten Loth.
Aus 11) erhält man nach Multiplication mit x, y, z und Ad
dition eine Finalgleichung zwischen den Coordinaten:
13) c ± x + c 2 y -f- c 3 z = 0
und somit das Resultat:
Die Bahn des Planeten ist eben und wird in der Weise
durchlaufen, dass die von dem Radiusvector nach der Sonne
bestrichenen Flächenräume den Zeiten proportional sind.
Um weitere Integrationen vorzunehmen, ist es zweckmässig, eine
nur r und t enthaltende Gleichung aufzustellen. Es ist:
r 2 = x 2 -j- y 2 z 2 ,
r. dr dx . dy . dz
-l.— = x lu +v W + Z W
und durch nochmalige Differentiation:
d
/r dr\
VW) •
d 2 x . d 2 y , d 2 z . dx 2 + dy 2 4- dz 2
x^ + y-^iir + z— -I L - ... ’
dt ~ dt 2 1 J dt 2 1 dt 2 dt 2
oder nach 9), wenn man der Kürze wegen setzt:
