§ 1. Das NEWTON’sche Gravitationsgesetz. 
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14) 
15) 
dr' 
dt 
= ~ JZ - + 
r 
dr , 
~dt ~ V ’ 
[X dx 2 -f- dy 2 + dz‘‘ 
dt‘ 
Differentiirt man noch einmal, so erhält man: 
dr 
d 2 r 
f* 
dt 
oder nach 9): 
16) 
= + 
dt 
+ 2 
dxd 2 x -j- adyd 2 y -|- dzd 2 z 
dt 3 
d 2 r' 
dt 2 
[JL . r 
Diese Gleichung stellt sich den Gleichungen 9) in einer bemer- 
kenswerthen Weise an die Seite, insofern, als an Stelle von x, y, z 
der Buchstabe r getreten ist. Combinirt man daher 16) mit 9) genau 
in derselben Weise, wie man die letzteren unter sich combinirt hat, 
um zu den Flächensätzen zu gelangen, so erhält man, wenn mit f 17 
f 2 , f 3 drei Integrationsconstanten bezeichnet werden: 
dr , dx 
— /i> 
17) 
dt 
dr' 
dr' 
' ‘ ~W 
dt 
dy_ 
dt 
ft, 
, dz 
~ r = 
2 a 
Multiphcirt man die Gleichungen 9) mit dx, dy, dz, so folgt 
durch Addition und Integration der Satz von der lebendigen Kraft: 
1 dx 2 -f- dy 2 -f- dz 2 [x 
18) T dt 2 — V 
wo die Integrationsconstante aus bald hervortretenden Gründen mit 
— bezeichnet wird: 
za 
Zwischen den Integralen 11), 17), 18) finden zwei identische Re 
lationen statt. Zunächst ergiebt sich aus 11) und 17) sofort: 
19) c x . f x + c 2 f 2 + c 3 f s = 0. 
Ferner ist nach einem bekannten Determinantensatz: 
dx 2 -f- dy 2 -{- dz 2 
= C 2 1 + C* + «3 = (® 2 + y* + 2 8 ) 
/ xdx -j- ydy -f- zdz \ 2 
— V dt / ’ 
dt‘‘