§ 25. Entwickelung in eine trigonometrische Reihe. 
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fi) ■jW° a ~ , C' ( * + a) ‘w* + 2< 
+ 
2 ) 
+ 
+ 
s.(s + 2)...(s + 2a) 
2H-i(»+l)I *2 
s.(s + 2)...(s + 2* + 2) s.(a + 2 ) 
2 i + 2 .(f + 2)! 
2 2 .2! 
Damit ist der allgemeine Ausdruck für (s*) für jeden Werth von 
s und i gefunden. (Für ein negatives i ist er illusorisch, dann aber 
hat man Formel 2) zu benutzen.) Doch ist dies nicht hinreichend, 
vielmehr müssen wir noch eine Reihe von Fundamentalrelationen zwi 
schen den (s*) ableiten. Dieselben ergeben sich sehr einfach durch 
Reduction von +) auf die GAüss’sche hypergeometrische Reihe: 
6) F (a, ß, y, x) 
II a ß X I a -^ a + 1 ) ß-(ß + l) g 
+ 1 T + 1.2 y.(Y+l) 
a.(a+l)(a + 2) ß . (ß + 1) (ß + 2) 
“1 1 cT O \ -t\ I o\ ‘ x W 
1.2.3 
Y.(Y+1) (Y + 2) 
7) 
Es ist nämlich: 
1 
(rt) = a~ s 
s . (s —(— 2) (s —j— 4)... (s —2 i — 2) 
2 i.il 
f (y’ T+’ i + 1 ’ “’)• 
a* X 
Jedoch giebt die Gleichung 1) mit derselben Leichtigkeit die 
genannten Relationen. Setzt man der Kürze wegen: 
a\ — 2 a x . « 2 cos 8 -j— = p, 
so erhält man durch Differentiation von 1) nach 8: 
s-f- 2 
2 
-f- oo 
— s . a x a 2 p 11 . sin 5 = tj-^ i (s { ) sin i 8, 
00 
oder, wenn man auf beiden Seiten mit 2 p multiplicirt: 
2s . . a 2 • sin & cos * ^ 
+ CO +C0 
= (a\ + +) 2 * ' s * n * ^ — 2 a t . a 2 . cos 8 ^( s< ) ß i n * S* 
00 00 
Nun ist: 
sin 8 2+) cos ih = *2(«0 sin (f +1)8 — |2($*') sin( i — 1)8,