228 III. Abschnitt. Die Theorie der Störungen. 
Eliminirt man aus diesen Gleichungen die Unbekannten 
«2,1? «3,1? • • .? so erhält man folgende Endgleichung für g x : 
[M] — g t 
[2,1], 
[3?1], 
[1? 2], 
[2? 2] — g, 
[3?2], 
21) 
0 = 
[2,3], 
[3?3] — <7, . . 
Diese Endgleichung für g liefert die n Werthe g x , g 2 , . . . g n . 
Jeder Wurzel, z. B. gx, entspricht nach 20) ein System von Werthen: 
22 ) «i,;.? ol 2 ,x, • • • a n ,x, 
zu deren genauer Bestimmung noch die Gleichung zu benutzen ist 
23) « l x + «2% + «3% H + = E 
Da die Determinante 21) symmetrisch ist und überdies sämmt- 
liche [X, ij.] reell sind, so werden alle Wurzeln g reell. Demnach 
werden die Coefficienten a der Substitution 16) auch reell und dass sie 
übrigens den Bedingungen 18) genügen, wenn die g sämmthch ver 
schieden sind, ist leicht nachzuweisen. Aber wenn die Gleichung 21) 
eine mehrfache Wurzel gx besitzt, so sollte man meinen, dass die 
Transformation illusorisch wird, weil dann jeder dieser gleichen Wur 
zeln gi nach 20) und 23) nur ein System von Werthen 22) zu ent 
sprechen scheint. Indessen folgt aus den Untersuchungen der Mathe 
matiker, dass dem nicht so sei, dass nämlich, wenn sämmtliche [X, ¡j.J 
reell sind, wie es hier der Fall ist, für eine mehrfache Wurzel gi 
nicht allein die Determinante 21), sondern ihre sämmtliche Unter 
determinanten bis zum (X—l) ten Grade inclusive verschwinden, so 
dass aus 20) und 23) für diese Wurzel so viel Systeme 22) folgen, 
als der Grad der Vielfachheit der Wurzel gi beträgt. Daraus folgt, 
dass die Substitution 16) immer möglich ist, gleichgiltig, ob die Glei 
chung 21) gleiche Wurzeln habe oder nicht. 
Uebrigens sind die g sämmthch positiv, weil cp eine wesentlich 
positive quadratische Form vorstellt. Sie sind, wie die Rechnung 
ergiebt, für unser Planetensystem, wenn man für die [X, ¡x] ihre 
numerischen, nur von den Massen und grossen Achsen abhängenden 
Werthe einsetzt, sämmthch verschieden. Allerdings kennt man die 
Massen der Planeten noch nicht alle mit hinreichender Genauigkeit, 
indessen hat man doch bewiesen, dass der aus dieser mangelhaften.