§31. Angenäherte Berechnung der säcularen Werthe der Elemente. 231 
Die auf der rechten Seite stehende Constante ist, wie man sich 
durch Einsetzen der jetzt geltenden Excentricitäten in die linke Seite 
überzeugt, sehr klein und hat Laplace hieraus den Schluss gezogen, 
dass alle Excentricitäten immer sehr klein bleiben. Doch hat La- 
grange darauf mit Recht entgegnet, dass ein mx sehr klein im Ver 
hältnis zu den übrigen Massen sein könne, und dass i n di esem Falle 
ex gross werden kann, ohne dass das Glied er ■ mx \ f gxax sich über 
das Niveau der anderen erhebt. 
Die Gleichungen 29) ergeben ferner: 
31) ex 2 . mx Y = a x,i 2 K? + a;.,2 2 K% -j- a x, 3 2 K% -j- • • • 
+ 2a;.,! . . K 2 . cos \_{g x — g 2 )t + \ — & 2 ] -f 
Aus dieser Gleichung folgt, dass der Maximalwerth, welchen ex nie 
mals überschreiten kann: 
[a;, i7vj ] -j~ [a;.,2/v 2 ]-}-••• 
Y~mx Y\xx ax 
ist. Dieser Ausdruck ist für jeden Werth von X, wie die numerischen 
Bestimmungen ergeben, klein, so dass in der That die Excentricitäten 
stets innerhalb kleiner Grenzen bleiben. Doch wäre es andererseits 
ein besonderer Ausnahmefall, wenn für einen Augenblick eine Bahn 
vollständig kreisförmig würde, weil dann für diese Bahn h und l 
gleichzeitig verschwinden müssten. 
Zur Bestimmung der Perihellängen hat man aus 29) die Glei 
chungen : 
a;,t K 1 sin ( g x t -{- h 1 ) -j- a x,iK 2 sin(ff 2 1 + h 2 ) -f - a;,,3 K 3 sin ( g 3 1 -[- 5 3 ) _+• 
0 a-x,\K\ cos {cg x t -¡- 81) -j- a;., 2 K 2 cos (g 2 1 -f-S 2 ) -f- cos(g 3 t -j-8 3 ) -f- • 
Das geometrische Gesetz, nach dem sich tzx mit der Zeit t än 
dert, ist demnach schwer übersichtlich. Doch kann man nachweisen, 
dass die Perihellängen im Grossen und Ganzen eine fortschreitende, 
d. h. positive Bewegung besitzen. Durch Differentiation von 32) folgt 
nämlich: 
33) « s . m Ywi ■ ^ = a;„c. k; . <?, + + 
+ 0 Lx,t . a;,2. K x . K 2 . (g 1 -\-g 2 ). COS [(g 1 —g 2 )t + b t — S 2 ] + ••• 
Die constanten Glieder der rechten Seite sind positiv. Die perio 
dischen Glieder dieser Seite sind zu Zeiten positiv, zu Zeiten aber 
negativ, so dass allerdings dizx auch negativ werden kann, jedoch 
nur zeitweise, gewissermaassen als Unterbrechung des positiven Vor 
zeichens. Dies folgt auch durch Integration von 33), welche ergiebt: