§ 31. Angenäherte Berechnung der säcularen Werthe der Elemente. 235 
Die übrigen Wurzeln q 1 . . . y w _i sind dann nach Obigem sämmt- 
lich negativ und hat man für diese genau so weiter zu operiren, wie 
vorher mit den Wurzeln der Gleichung 21). 
Die’ entsprechenden Gleichungen zu 29) werden hier: 
P\\f m l Y P'l a l — ßl, 1 Kl sin (Vl^-p^l ) ~l - ßx.2 K% sin (y2 t —j— 8f) $ lt nKn sin (8,/),. 
Pl \ ^2 ~\f P *2 ^2 = ß 2 ,l-A 1 sin(Yii-j- 8 i 1 —}— ß 2,2 K% sin (y 2 6 2 ') H ß 2 ,n Kn sin ( 8 »), 
Aus 44) folgt, dass in allen p ein und dasselbe constante Ghed: 
enthalten ist. 
Diese beiden Constanten kann man in den Ausdrücken für p 
und q verschwinden lassen, wenn man die unveränderliche Ebene 
(welche nach dem vorigen Paragraphen keine säcularen Schwankungen 
erleidet) als xy Ebene nimmt. Die Gleichungen 45) ergeben nämlich 
unter Anwendung von 44): 
Die eingeklammerten Summen stellen aber die linken Seiten der 
Gleichungen 7) und 8), § 30, vor, welche Null werden, wenn die 
xy Ebene zugleich unveränderliche Ebene ist. 
Weil sämmtliehe Wurzeln der Gleichung 42) negativ sind, mit 
Ausnahme von = 0, so besitzen die Bahnknoten im Grossen und 
Ganzen eine retrograde Bewegung. In der That gilt dies in diesem 
Jahrtausend für jeden Planeten. 
Lagrange und Laplace haben an Stelle der Determinanten 21 ) 
resp. 42) andere unsymmetrische erhalten, deren leichte Zurückführ 
barkeit auf symmetrische erst Jacobi mitgetheilt hat. Sollen die 
45) 
• Kn sin h H ' = 
und in allen q ebenfalls ein und dasselbe constante Ghed: 
V m 1 Y P4