288 III. Abschnitt. Die Theorie der Störungen. 
Für n = 2 hat dasselbe Resultat — ohne sich auf Convergenz- 
betrachtungen einzulassen — Lindstedt formell aus den Lagkrange- 
schen Differentialgleichungen des Problems der drei Körper [38) und 
45) § 7] abgeleitet. (Sur la détermination des distances dans le pro 
blème des trois corps — Annales de l’école normale 1884.) 
Sind die Coefficienten a der Zeit t in den: 
h = ctit + ßji 
incommensurabel, so kehren die ursprünglichen Coordinaten niemals 
wieder. Haben aber die a ein grösstes gemeinschaftliches Maass c, 
sind sie also alle ganze Vielfache von c, so werden auch die N und n 
ganze Vielfache von c. Die Coordinaten lassen sich dann in trigono 
metrische Functionen eines einzigen Winkels ct entwickeln und keimt 
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daher das System nach der Zeit T = —— wieder m seine ursprüng 
liche Lage zurück, so dass die Bewegung rein periodisch wird, genau 
wie hei zwei Körpern. 
In der That sind einige solche specielle Fälle für drei Körper 
in § 8 gekennzeichnet worden. Liouville hat 'bewiesen (Mémoire 
sur un cas particulier du problème des trois corps — Journal des 
Mathémat. pures et appl. 1842, Seite 110, und 1856, Seite 248), 
dass der specielle Fall, in welchem die drei Körper beständig in einer 
geraden Linie bleiben und im Raume ähnliche Ellipsen beschreiben, 
unstabil ist, insofern als eine ganz geringe Veränderung der Anfangs 
lage, wie sie der kleinste Stoss oder die kleinste fremde Kraft bewirkt, 
zur Folge hat, dass mit der Zeit die Richtungen der'drei Verbindungs 
linien vollständig auseinander gehen. Dies kann man sehr wohl nach 
den vorigen Auseinandersetzungen erwarten. Denn wenn die a in einem 
speciellen Falle commensurabel sind, so genügt ein geringes Abweichen 
von der ursprünglichen Lage, um diese Commensurabilität zu einer 
ungenauen zu machen. Die Verhältnisse der Perioden der l sind dann 
nicht mehr in ganzen Zahlen ausdrückbar und muss also die specielle, 
mit der reinen Periodicität verbundene Eigenthümlichkeit (hier das 
Liegen der drei Punkte in einer geraden Linie) schliesslich völlig ver 
loren gehen. 
Sind die a incommensurabel, so ist die Bewegung keine rein 
periodische. Jeder Winkel l hat dann allerdings seine Periode, aber 
diese Perioden stimmen nicht zusammen und kann daher die Bewe 
gung dem Auge eine sehr verwickelte Form bieten, wie man sie in 
der That schon bei Bahnen der Componenten mancher mehrfachen 
Fixsterne beobachtet hat.