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§ 4. Entwickelung der Coordinaten als Functionen der Zeit, 
da das Integral jedenfalls kleiner ist als: 
271 
JdE = 2 tc. 
o 
Ferner sind sämmtliche Wurzeln der Gleichung J n (x) = 0 reell, 
so dass die Curve y — J H (x) wellenförmig verläuft, wie die Curve 
y — sin x, nur mit dem Unterschied, dass die Wellen für die erste 
Curve immer flacher werden. Schliesslich sei noch erwähnt, dass 
man durch eine einfache Recursionsformel J n + \{x) durch J n (x) und 
ausdrücken kann, so dass man durch die Transcendenten J 0 (x ) 
und J x (x) die übrigen bestimmen kann. 
Dm'ch Einführung dieser Functionen*) erhält nlan: 
sin ( x sin if) = 2 . \J x {x) sin E -f- J 3 (x) sin ?>E -f- J 5 (x) sin bE -j ]. 
2 2 
Hieraus folgt: b n — — • J„(x) = J n (ne). 
° n n 
Mit Leichtigkeit kann man auch r, h, und y) mit Hilfe der Bessel- 
schen Transcendenten ausdrücken. Setzt man: 
r = a (1— e cos E) = a 0 -f- a 1 cosilf -f- a 2 cos 2M -f- a 3 cos3 M -j- • • • 
*) Der Leser, welcher sich über diese BESSEL’schen Functionen, die auch 
in anderen Problemen eine Rolle spielen, orientiren will, findet die wichtigsten 
Eigenschaften derselben in dem Buche von Todhunter: An Elementary treatise 
on Laplace’s functions, Lame’s functions and Bessel’s functions zusammen 
gestellt. 
cos ( x sin E) — 2 [ J 0 (x ) -f- J 2 (oc ). cos 2 E -f- J±(x) . cos (4E) 
+ J 6 (x) . cos 6a: . . .], 
16) E — M= 2 { J x ( e ) sin M + \J 2 (2e). sin 2 M-\-%J 3 (2>e) . sin 3 M-\ }• 
+ b x sin M + b 2 sin 2 M -}-••• 
so ergiebt sich zunächst b x — b 2 — b 3 = • • • — 0. 
Ferner ist: 
271 
— e cos E). dE = ^1 + 
dM=a — -P- cosE. 
2 V 
cos E . dM 
o