§ 4. Entwickelung der Coordinaten als Functionen der Zeit. 35 
Mit Hilfe von 22) und 23) kann man übrigens die Glieder, für welche 
а — [X] = — 1 ist, sofort hinschreiben. Sie sind: 
25) а j^cos £ -f- cos (2 £ — тс) -j- ^ • 3 cos (3 £ — 2 тс) 
+ 3Т2 1 " ’ 42cos —Зтс ) h-—] 
Ganz dieselben Resultate ergeben sich für y, nur dass man cosinus 
durch sinus zu ersetzen hat. Schliesslich folgt aus der Formel für 0 in 
19), § 2, dass in z nur Glieder von der Form lce a .iß sin(X?-j-yTC-|-5ß) 
vorhanden sind, für welche Х-|-'у-|-5 = 0, 8 = +1 und а -|- ß — [X] 
gerade, positiv oder = 0 ist. 
Diese Resultate wollen wir noch einmal zusammenstellen. 
Die Entwickelung von x sei: 
x = Sk . e a . iß cos (X£ -f~ утс -|- 80). 
Dann ist die Entwickelung von y: 
у = Sk . e a . iß sin (X£ + утс + 80) 
denselben Coefficienten к und zugleich ist: 
X —(— у —)— 8 = —|— 1, 8 = 0, oder 8=—J— 2, so dass X —|— y == ~Ь 1» 
а -|- ß — [X] ungerade und positiv, und wenn ß = 0 ist, im 
äussersten Grenzfall = — 1. 
Die Entwickelung von 0 sei: 
z = Sk'. e a iß sin (X£ + Yit + 80), dann ist: 
| X«+ Т + § — 0, 8 = + 1 und 
| а + ß — [X] gerade und positiv oder — 0. 
Zugleich ist in allen drei Fällen: 
(а — [y] gerade, positiv oder 0, 
|ß — [8] gerade, positiv oder 0. 
Die 5 Grössen a, ß, X, 4 , 8 können alle möglichen, den Bedin 
gungen 28—31 genügenden (positiven und negativen) ganzen Zahlen 
vorstellen, und handelt es sich dann nur noch um die Bestimmung der 
Coefficienten к und k' als Functionen der grossen Achse a. Diese Ent 
wickelung ist die expediteste, insofern in ihr alle Elemente a, e, i, тс, О 
mit Ausnahme von s, welches aber in £ = nt + £ enthalten ist, ana 
lytisch zum Ausdruck kommen. Ordnet man aber nur nach Vielfachen 
von £, so kann man die Entwickelung auch so ansetzen: 
26) 
27) 
mit 
28) 
29) 
30) 
31)