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§ 6. Das Problem der n Körper. Die allgemeinen Integrale desselben. 39
geltenden Grössen mit dem entsprechenden Index und schliesslich die
Entfernung zweier Punkte P;. und P^ mit so dass:
- OCp) 2 (yx Uft) 2 " z [i) 2 ?
d 2 x 1 d 2 y x d 2 z 1
so erhält man für die Componenten m 1 m i ^2 ’ m i ^2
des ersten Punktes nach § 1, 2), und nach dem Satz vom Parallelo
gramm der Kräfte:
2 )
m
m ,
d 2 x x
dt 2
dt 2
= k 2 (^m x .
= k 2 {m 1 .
m a
Xa X 1 . Xg X 1 |
-S— L + m i • m s -Si 1-
-f- m 1 . m n
r
0C*i ■
m '
Vz — Vi 1
Wl 2 ... - + m i •
r
Vs — y 1
+
'in y
d% 72 /
m '~dpr = ¥ V ” 1
Mo
h 1
- + %■
+
. z* — % \
"h . m n I •
rin *
Entsprechende Gleichungen für die übrigen Punkte erhält man
durch einfache Vertauschung der Indices. Man kann denselben eine
ausserordentlich elegante Form geben, wenn man bedenkt, dass die
rechten Seiten der Gleichungen 2) die partiellen Ableitungen einer
Function der Coordinaten nach derjenigen Coordinate sind, deren be
wegende Kräfte auf der linken Seite stehen. Diese Function ist, wie
man sich durch Ausführung der Differentiation sofort überzeugt:
3)
'= k 2 (^
\ r 1
m 2_ _i_ i
+
m n -
1 • m n \
— 1 . n '
mim.fx
Diese Function, auf deren Existenz zuerst Lagrange liingewiesen,
wird nach Geeen’s (1828) und Gauss’ (1839) Vorgänge Potential
der Kräfte genannt. Sie spielt bekanntlich auch in vielen anderen
Zweigen der Mechanik und Physik eine grosse Rolle. Mit Einführung
des Potentials V nehmen die Gleichungen 2) die einfache Gestalt an:
