§ 6. Das Problem der n Körper. Die allgemeinen Integrale desselben. 47
Seite von 20) negativ. Es müsste also ^mxm^rx^ schliesslich wieder
kleiner werden, und zwei Punkte mindestens sich wieder nähern, was
unmöglich ist, da die Anziehungskraft in der Unendlichkeit = 0 wird.
Der Begriff der vollständigen Stabilität, wie er oben aufgestellt
worden ist, ist für die Astronomie von der höchsten Wichtigkeit. Unser
Sonnensystem, wenn man darunter nur die Sonne und ihre Planeten
versteht, ist aller Wahrscheinlichkeit nach ein stabiles System. Die
Anstrengungen von Laplace und Lagrange und neuerer Astronomen
gipfeln in dem Stabilitätsproblem und haben gezeigt, dass man den
Begriff desselben für das Sonnensystem noch viel enger fassen kann.
Leider aber ist es ihren Bemühungen nicht gelungen, einen vollständig
strengen Beweis zu liefern, so wie überhaupt die Bedingungen der
Stabilität festzustellen, so dass man nur im Stande ist zu sagen:
Unser Sonnensystem kann stabil sein, oder ist mit sehr grosser Wahr
scheinlichkeit stabil, wenn man diesen Begriff auf*unbegrenzte Zeit
räume ausdehnt.
Schliesslich wollen wir noch in diesem Paragraphen den Begriff
der unveränderlichen Ebene, wie ihn Laplace für unser Sonnen
system aufgestellt hat, erörtern.
Die Ausdrücke
, dz , du' , dx' , dz' , du' , dx'
■ dt dt dt dt dt dt
haben die sehr bemerkenswerthe Eigenschaft, dass sie bei einer
Drehung des Coordinatensystems sich ebenso transformiren, wie die
Coordinaten selbst. Denn setzt man die bekannten Transformations-
formel an:
22 )
= xa -i + y'ßi + z'Yi
y" = XX 2 + y'$2 + Z Ï2
s" = xa s + y'ßs + ä'Ysw
so ergiebt sich, wenn man obige Ausdrücke mit Ä, B', C' und die
transformirten mit A", B", C" bezeichnet, aus 21):
A = A (ß 2 Y3 Y2 ßs) B (y 2 a 3 a 2 y 3 ) -f- C (a 2 ß 3 ß2 a 3)?
oder, vermöge der bekannten Relationen zwischen den 9 Coefficienten:
A = A<x 1 -\-B$ 1 -\-Cy 1
23) B = A a 2 B ß 2 -j- G y 2
C = A a 3 -f- B ß 3 -j - C y 3 .
Bezeichnet man demnach die Constanten, welche in 16) an Stelle
von (7/, C 2 ', C s ' treten, mit C x ", C 2 ", C 3 ", so erhält man ebenso:
