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Cylinder als zwölfseitige Prismen auffassen können. Es 
wäre dies aber sehr umständlich und kann auch entbehrt 
werden, da bei einigem Vorstellungsvermögen es dem Auge 
nicht schwer fällt, durch die sich ergebende besondere An 
ordnung der Punkte die stetig gekrümmte Kurve, welche sie 
verbindet, ohne weiteres zu erkennen und diese aus freier 
Hand zu zeichnen. Auch die Entscheidung wegen Sichtbar 
keit und Unsichtbarkeit der einzelnen Kurvenstücke kann 
durch den bloßen Augenschein erfolgen, wobei zu beachten 
ist, daß dieser Wechsel immer an einer Bildkontur des 
einen Körpers eintritt. 
Man sieht also, daß die richtige Verbindung der Durch 
dringungspunkte bei den krummflächigen Körpern bedeutend 
einfacher ist, als es jene bei den ebenflächigen Körpern ohne 
Hülfe einer Tabelle wäre. 
Aus der Thatsache, daß die Parallelen durch die äußersten 
Punkte c und i des Kreises um n (Bodenfläche des gelben 
Oylinders) die Ellipse um 14 (Bodenfläche des blauen Cylinders) 
noch schneiden, schließen wir, daß der gelbe Cylinder den 
blauen vollständig durchdringt, und daß wir deshalb zwei 
getrennte Linienzüge der Durchdringung, nämlich die Ein 
trittskurve : I— III— V— VII— IX — XI— XIII— XV— 
XVII-XIX—XXI-XXIII—I und die Austrittskurve: 
II—IV- VI— VIII— X- XII- XIV— XVI- X VIII — 
XX — XXII— XXIV— II erhalten. 
Die 2. P. P. dieser Kurven werden gefunden, indem man 
die 1. P. P. der Durchdringungspunkte auf die 2. P. P. der 
Mantellinien des gelben Cylinders, auf welchen sie liegen, 
hinauflotet und die sich ergebenden Punkte entsprechend 
verbindet. 
Wie nicht anders zu erwarten, liegen die P. P. der 
Durchdringungskurven nur auf jenen Stücken der T. T., 
welche zugleich von den Bildkonturen beider Körper ein 
geschlossen werden. Es ist aber zu beachten, daß die Kurven 
projektionen die Bildkonturen berühren, und daß ein Wechsel 
von Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit eines Kurvenstückes 
nur in einem solchen Berührungspunkte stattfindet. 
Die Fig. Fig. 2 und 3 stellen die beiden Körper 
einzeln aus der Verbindung gezogen dar. Man erkennt 
deutlich, wie der blaue Cylinder bei der Durchdringung durch 
locht und der gelbe in zwei getrennte Teile zerschnitten wird. 
Fig. 4 ist die Abwickelung des Mantels des elliptischen 
Cylinders. Die auf ihm angenommenen Mantellinien wurden 
bei der Durchdringung nicht verwendet, sind aber jetzt für 
die Abwickelung erforderlich. 
Als Ausgang, für die Abwickelung muß ein Normal- 
scbnitt verwendet werden, der in 3. P. Fig. 1 umgeklappt 
schon besteht, und welcher ein Kreis mit dem Radius 30 mm 
ist. Sein Umfang beträgt daher: 2*30*3,14 = 188,4 mm. 
Die Mantellinien gehen durch gleich große Abschnitte 
des abgewickelten Normalschnittumfangs (dessen Zwölftel), 
und die Abstände ihrer Endpunkte vom Normalschnitte 
können aus der 3. P. in wahrer Länge entnommen und hier 
aufgetragen werden. 
Um die Durchdringungspunkte auf dem abgewickelten 
Mantel zu erhalten, zieht man durch jeden Punkt eine 
Mantellinie und erkennt deren Einschneiden entweder im 
Normalschnittumfang in der Umklappung (in 3. P.) oder 
in dem Einschneiden auf dem Umfang der Bodenfläche. 
Durch Aufträgen kleiner Teile mittelst des Zirkels wird 
die Entfernung vom nächsten nummerierten Punkt gemessen 
und diese Entfernung entweder auf dem geradlinig ab 
gewickelten Normalschnittumfang oder auf dem krummlinig 
sich abwickelnden Umfang der Bodenfläche aufgetragen. 
Ziehen wir durch diese Fußpunkte die zugehörigen 
Mantellinien in der Abwickelung und tragen die Entfernungen, 
welche sich in 3. P. in wahrer Größe zeigen, je nachdem 
vom Normalschnitte oder von dem abgewickelten Bodenflächen 
umfang auf, so erhalten wir durch die Verbindung der so 
bestimmten Punkte zwei in sich geschlossene Kurven. 
Um den Mantel des gelben Cylinders abzuwickeln, muß 
eine 4. P. dieses Cylinders auf einer 4. T., welche _L zur 
1. T. und ¡1 zur Cylinderachse aufzustellen ist, konstruiert 
werden. 
Der hierher gehörige Normalschnitt ist in Wirklichkeit 
eine Ellipse, welche zuerst in 3. und 1. P. gezeichnet, und 
dann in die 1. T. umgeklappt wird, wobei eine Ellipse mit 
den Punkten a° — cl° — g° — Je 0 — a° erscheint. 
Die Länge des Umfanges derselben ergiebt sich hin- 
70 -f 43 
reichend genau aus 
2 
3,14 = 177,41 mm. Diese 
Länge in vier gleiche Teile geteilt liefert die Punkte a°, d °, 
g°, k°, a° in der Abwickelung des Normalschnittes. 
Die Zwischenpunkte sind mit kleinen Teilen in ihren Ent 
fernungen von den vorgenannten Punkten zu ermitteln, da 
durch die gleichmäßige Einteilung der Bodenfläche (d. i. der 
Kreis um n x ) und die zugehörigen Mantellinien der Umfang 
der Normalschnitt-Ellipse nicht in gleiche Teile zerschnitten 
wird. 
Für jeden solchen in der Abwickelung bestimmten Punkt 
sind nun die Mantellinien zu ziehen, und es sind die Ab 
stände der auf jeder derselben liegenden vier Punkte, vom 
| Normalschnitt aus gemessen, aus der 4. P. in wirklicher 
! Größe zu entnehmen. Durch Verbindung der so gefundenen 
Punkte ergeben sich zwei getrennte, aber nicht in sich ge 
schlossene Linienzüge. 
Einen Nachweis für gewissenhafte Konstruktion finden 
wir darin, daß die Längen der Kurven, mittelst kleiner Teile 
gemessen, auf beiden abgewickelten Mänteln genau überein 
stimmen müssen, da ja die Durchdringungskurven beiden 
Körperoberflächen gemeinsam sind. 
Die in der darstellenden Geometrie zu behandelnden 
krummen Linien erscheinen häufig* als Schnittlinien von 
krummen Flächen, und es.bi e t et sich deshalb an dieser 
Stelle die Gelegenheit, Einiges über ihr Wesen auszusprechen. 
In der Geometrie, speciell in der analytischen Geometrie, 
werden die Flächen nach dem Grade der Gleichungen, wo 
durch ihr Bildungsgesetz analytisch ausgedrückt wird, in 
Flächen des 1., 2., 3. u. s. w. Grades, oder auch der 1., 2., 
3. u. s. w. Ordnung eingeteilt. 
Eine Fläche 1. Ordnung ist nur die Ebene. Sie hat 
die Eigenschaft, daß man in sie nach jeder Richtung hin 
eine gerade Linie legen kann. 
Zu den Flächen 2. Ordnung gehören unter anderen die 
schon besprochenen Cylinder-, Kegel- und Kugelflächen, weil 
ihre Gleichungen vom 2. Grade sind. * 1 
* Sie können auch durch bestimmt vorgeschriebene Bewegung 
1 von Punkten entstehen.