88 
Blatt 34. 
Die Schnittlinien von Ebenen mit diesen krummen j 
Flächen sind Linien 2. Ordnung, weil sie ebenfalls Gleichungen 
vom 2. Grade haben. Es sind ebene oder einfach ge - | 
krümmte Kurven. 
Schneiden sich zwei Flächen 2. Ordnung, so ist ihre 
Schnittkurve im allgemeinen eine Linie der 4. Ordnung, 
weil ihre Gleichung durch Kombination auf eine Gleichung 
vom 4. Grade hinführt. Solche Linien sind räumlich oder 
doppelt gekrümmt oder gewunden und können niemals 
in einer Ebene untergebracht werden. 
Eine ebene Kurve projiziert sich als Gerade, wenn ihre 
Ebene zu einer Tafel senkrecht steht. Ist ihre Ebene zu 
einer Tafel parallel, so erscheint sie auf dieser projiziert in 
wahrer Gestalt. 
Bei räumlichen Kurven, zu welchen auch die Durch- : 
dringungskurven unserer beiden Cylinder im vorliegenden 
Falle gehören, ist dies nie der Fall. Sie können auf einer 
Tafel projiziert niemals als Geraden oder in wahrer Gestalt 
erscheinen. 
Eine Untersuchung ergiebt, daß die Gerade die einzige 
Linie des 1. Grades ist. Die Kegelschnitte sind die Kurven 
2. Grades. Alle anderen Kurven sind von höherem Grade. 
Die ebenen Kurven werden in geschlossene Kurven, 
wie die Ellipse, und in nicht geschlossene oder offene 
Kurven, wie die Parabel, unterschieden. Die letzteren er- 
strecken sich gewöhnlich ins Unendliche. Manche Kurven j 
bestehen aus zwei — wie die Zwillingskurve Hyperbel — j 
oder mehreren getrennten Teilen, welche Äste oder Zweige 
heißen. Diese können wieder geschlossen oder offen sein.: 
Ein unendlich kleiner Bogen, d. h. ein solcher, welcher 
kleiner ist als jede noch meßbare Länge, heißt ein Element 
der Kurve. Es verbindet zwei Nachbarpunkte der Kurve 
miteinander. Ein solches Kurvenelement kann man an 
nähernd als gerad ansehen. Seine Verlängerung ist zugleich 
die Tangente für die Kurve an dieser Stelle. Diese Stelle 
heißt der Berührungspunkt. 
Diejenige Gerade, welche auf einem Kurvenelemente, 
resp. auf der Tangente desselben, senkrecht steht, heißt die 
Normale für diese Stelle. Asymptote ist die Tangente 
in einem unendlich fernen Berührungspunkte. Die Kurve 
nähert sich der Asymptote fortwährend, ohne sie indessen 
je zu erreichen. 
Berührt eine Gerade eine Kurve in zwei oder mehr 
Punkten, so heißt sie eine Doppeltangente, bezw. mehr 
fache Tangente. 
Ist die Kurve eine ebene Kurve, so liegen Tangente 
und Normale in der Kurvenebene. Ist dieselbe aber eine 
räumlich gekrümmte Kurve, so liegen beide Linien in der 
Ebene des zugehörigen Krümmungskreises oder in der 
Krümmungseben e. 
Unter dem Krümmungskreis versteht man jenen Kreis, 
welcher in dem betreffenden Kurvenelemente unter allen 
möglichen Berührungskreisen sich am innigsten an die Kurve 
anschmiegt. Der Krümmungskreis für irgend einen Kurven 
punkt bestimmt zugleich die Krümmung der Kurve für 
diesen Punkt. Man erhält den Krümmungskreis, wenn an 
der Stelle der Kurve, für welche die Krümmung bestimmt 
werden soll, auf ihr drei aufeinander folgende Punkte in 
solcher Entfernung angenommen werden, daß man die 
Krümmung der beiden dadurch begrenzten Kurvenstücke als 
gleich ansehen kann. Der durch diese drei Punkte be 
stimmte Kreis ist der Krümmungskreis. 
Liegt ein Punkt auf einer Kurve so, daß ein Wechsel 
der Krümmung nach der entgegengesetzten Seite stattfindet, 
so heißt dieser Punkt ein Wende-, Wellen- oder In 
flexionspunkt. 
Besitzt eine Kurve keinen Wendepunkt, so ist es eine 
Kurve von gleichartiger Krümmung, wie es z. B. alle 
Kegelschnitte sind. Der Kreis insbesondere hat nicht nur eine 
gleichartige, sondern auch eine gleichförmige Krümmung, 
da für alle seine Punkte die Krümmungskreise gleich große 
Radien haben. 
Ändert eine Kurve in einem Punkte ihre Richtung in 
die entgegengesetzte, so heißt dieser Punkt ein Grat oder 
Rückkehrpunkt. Die Tangente im Rückkehrpunkte be 
rührt die beiden betreffenden Kurvenstücke. Liegen dieselben 
auf einer Seite der Tangente, so entsteht ein Schnabel, 
liegen sie aber auf verschiedenen Seiten derselben, so ent 
steht eine Spitze. 
Geht eine Kurve zweimal oder mehrmals durch einen 
ihrer eigenen Punkte, so entsteht ein Doppelpunkt bezw. 
ein mehrfacher Punkt. Die Kurve bildet Schleifen. 
Eine Kurve rektifizieren heißt: sie in eine gerade 
Linie ausstrecken oder auf einer Geraden eine Länge gleich 
der Kurvenlänge auftragen. Die Rektifikation einer Kurve 
kann durch Rechnung erfolgen, oder wo dies unmöglich er 
scheint, oder Schwierigkeiten vorliegen, durch Abtragen 
kleiner Teile, welche annähernd als gerad angesehen werden 
können, mittelst des Zirkels. 
Es kann eine Kurve auch auf irgend einer anderen 
Kurve abgewickelt werden, sei es, daß man ihre Länge auf 
diese andere Kurve durch Rechnung oder mittelst kleiner Teile 
überträgt. 
Bei dem Projizieren von Kurven werden projizierende 
Cylinderflächen oder Lotcylinder verwendet. Bei einer 
ebenen Kurve kann aus einem Lotcylinder auch eine Lot 
ebene werden. 
In der Projektion einer Kurve werden sich im all 
gemeinen ein mehrfacher Punkt, ein Wendepunkt und ein 
Rückkehrpunkt auch in der Projektion wieder als ebensolche 
Punkte darstellen. 
Ist eine Gerade Tangente an einer Kurve, so ist auch 
ihre Projektion eine Tangente an der Projektion der Kurve 
und zwar für die Projektion des Berührungspunktes. Die 
Projektion der Normalen einer Kurve erscheint nur in be 
sonderem Falle wieder als Normale an der Kurvenprojektion, 
wenn nämlich die zugehörige Tangente zu der betreffenden 
T. || ist, . 
Blatt 34. 
Durchdringung eines Cylinders und eines Kegels. 
Mit Verwendung von Ebenen, -welche durch die 
Spitze des Kegels gehen und parallel zu den Mantel 
linien des Cylinders sind. 
Es sind gegeben in Fig. 1 ein schiefer Kreiscylinder 
und ein schiefer elliptischer Kegel, beide mit ihren Boden 
flächen auf der 1. T. aufstehend; gesucht ist ihre Durch 
dringung.