Blatt 34. 
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Wir führen den vorliegenden Fall auf jenen des Blattes 29 
zurück, indem wir den Cylinder als ein schief abgeschnittenes 
zwölfseitiges Prisma und den Kegel als eine zwölfseitige Py 
ramide betrachten, weil beide Grundflächenumfänge je in 
12 gleiche Teile geteilt und Mantellinien für diese Punkte 
gezogen wurden. 
Legen wir durch die Kegelspitze s eine Gerade || zu den 
Cylindermantellinien und bestimmen deren 1. Sp. r, so ist 
r der Schlüsselpunkt. Wird nun nach und nach jeder 
der Punkte a bis m mit r verbunden, so sind diese Ver 
bindungslinien die 1. Sp. Sp. von Hülfsebenen, welche alle je 
eine Kegelmantellinie enthalten und den Cylinder nach zwei 
Mantellinien schneiden. Jede der Kegelmantellinien liegt 
also mit zwei zugehörigen Cylindermantellinien in der näm 
lichen Plülfsebene, und die Schnittpunkte dieser Linien unter 
einander sind Punkte der Körperdurchdringung. 
So liefert die Mantellinie as die beiden Punkte I und 
XIII, bs liefert die Punkte II und XIV, cs die Punkte 
III und XV u. s. w., endlich ms die Punkte XII und 
XXIV. 
Durch die Verbindung der gefundenen Punkte erhält 
man zwei getrennte Linienzüge, welche sich in beiden P.P. 
berührend an den Umriß der den P.P. beider Körper 
gemeinschaftlichen Figur anlegen. Der Wechsel von Sicht 
barkeit und Unsichtbarkeit der einzelnen Kurvenstücke findet 
immer in einem solchen Berührungspunkte statt. 
Die Fig. Fig. 2 und 3 zeigen die Körper einzeln 
aus der Durchdringung herausgenommen. Man erkennt, daß 
hier infolge der vollständigen Durchdringung der Cylinder 
durchlocht und der Kegel in zwei getrennte Teile zerschnitten 
ist. Dies war auch im Verlaufe der Konstruktion schon 
daraus zu ersehen, daß die Verbindungslinien aller Punkte 
des Ellipsenumfangs mit dem Schlüsselpunkte die Boden 
fläche des Cylinders schnitten. 
Um den Mantel des Cylinders abwickeln zu können, 
wurde in Fig. 3 eine neue T. || zur Cylinderachse und _L 
zur 1. T. aufgestellt und auf ihr die 4. P. des Cylinders 
konstruiert. Dieselbe giebt Gelegenheit, in einfacher Weise 
einen Normalschnitt vornehmen zu können. Dieser ist bei 
einem schiefen Kreiscylinder stets eine Ellipse, von welcher 
wir durch Umkanten die wahre Gestalt erhalten. 
Der Ellipsenumfang wird genügend genau berechnet aus: 
70 + 46 
3,14 = 182,12 mm. 
Zi 
Diese Länge tragen wir in Fig. 4 geradlinig auf, und 
es sind die Punkte 2, 5, 8 und 11 als Viertel so genau be 
stimmt, als wenn sie gleichfalls berechnet worden wären. 
Die übrigen Punkte sind in ihren Abständen von den vorigen 
mittelst kleiner Teile zu finden. 
Die Entfernungen der Endpunkte der Mantellinien vom 
Normalschnitte erscheinen in 4. P. in wahrer Größe. 
Durch die Durchdringungspunkte sind neue Mantel 
linien zu legen. Ihre Fußpunkte ergeben sich in der Um- 
klappung des Normalschnittes in Fig. 3, und es sind die 
Abstände von dem benachbarten Fußpunkte einer der früheren 
Mantellinien mittelst kleiner Teile zu messen und auf den 
abgewickelten Normalschnitt in Fig. 4 zu übertragen. Die 
Abstände der Durchdringungspunkte vom Normalschnitte, 
C. Alberti, Darstellende Geometrie. 
auf den Mantellinien gemessen, ersieht man aus der 4. P. 
Fig. 3 in wahrer Größe. 
Um den Mantel des Kegels in Fig. 5 abzuwickeln, wurde 
eine 3. T. -1 zur 1. T. und || zur Kegelachse angenommen 
und hierauf der Kegel mitsamt seinen Mantellinien und 
den Durchdringungskurven projiziert. 
Die wahre Länge jeder einzelnen Mantellinie findet man 
durch Paralleldrehen zur 3. T. Bei der hier gewählten sym 
metrischen Anordnung dieser Mantellinien zur Kegelachse 
erhält man dabei stets zugleich die wahren Längen von zwei 
gegenüberstehenden Mantellinieri, wie bei as und gs in der 
Lage (ag’)s gezeigt wurde. Die auf ihnen liegenden Punkte 
I und VII bewegen sich dabei || zur 2. A. in die neue 
Stellung, und es sind 1' s 3 und VIT s 3 die wahren Abstände 
dieser Punkte von der Kegelspitze, auf den Mantellinien as 
und gs gemessen. 
Die in dieser Weise ermittelten wahren Längen sind in 
der Abwickelung so verwertet, daß man immer ein Stück 
der Kegelfläche zwischen zwei Mantellinien als eben, gleich 
sam als eine Pyramidenseite, d. h. als ein Dreieck, betrachtet 
und aufträgt. 
Wir beginnen bei Dreieck des. Die Kanten sd und sc 
werden, nachdem ihre wahren Längen ermittelt sind, auf 
getragen. Die dritte Kante cd greift man als Sehne des 
Ellipsenbogens c x d 1 in Fig. 1 ab und benutzt sie zur Ver 
vollständigung des Dreiecks cds. In gleicher Weise trägt 
man alle Dreiecke auf, indem man immer das eine an das 
andere anreiht. 
Durch die Dreiecksecken zieht man nun aus freier Hand 
eine Kurve d — Je — d, welche den abgewickelten Umfang der 
Bodenfläche vorstellt. 
Der Fehler, welcher bei jedem einzelnen der Dreiecke 
gemacht wird, indem wir immer anstatt des Bogens seine 
Sehne benutzen, wird größtenteils dadurch wieder aus 
geglichen, daß auch in der Abwickelung die Punkte durch 
eine Kurve und nicht durch Strecken verbunden werden. 
Bemerkt man dabei, daß ein Bogen in der Abwickelung be 
deutend flacher ist als in der Projektion, wie z. B. die Stücke 
ab und fg, so thut man gut, bei dem Abgreifen die Sehne 
recht völlig zu nehmen, da doch zu zwei Kurven von gleicher 
Länge und verschiedener Krümmung immer zu der stärker 
gekrümmten Kurve die kleinere Sehne, zu der schwächer 
gekrümmten die längere Sehne gehört. Es müssen deshalb 
die Sehnen der Bogen ab und fg in der Abwickelung ein 
wenig länger gemacht werden als in der Projektion; anderen 
falls würde das Kurvenstück zu kurz ausfallen. 
Mit Berücksichtigung solcher Feinheiten erhalten wir 
ein Resultat, welches von der mathematisch richtigen Ab 
wickelung sehr -wenig abweicht. 
Ein Zeichen genauer Konstruktion ist auch hier wieder, 
wenn schließlich, mittelst kleiner Teile gemessen, die ab 
gewickelten Umfänge der Durchdringungskurven auf beiden 
Mantelabwickelungen übereinstimmen. 
Würden beide Körper mit ihren Bodenflächen auf der 
2. T. anstatt der 1. T. aufstehen, so wäre selbstredend als 
Schlüsselpunkt die 2. Sp. der Parallelen durch die Kegelspitze 
zu verwenden. 
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