Blatt 36. 
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Das hinter dem Querschnittsdreieck vivl gelegene Stück 
des blauen Kegels wird nicht mehr von dem gelben Kegel 
getroffen; ebensowenig wird das vor dem Dreieck qrs liegende 
Stück des gelben Kegels von dem blauen geschnitten. 
Aus der Thatsache, daß von jedem der beiden Kegel 
ein Stück an dem anderen vorübergeht, können wir schließen, 
daß ein Anschneiden beider Körper erfolgt und sich nur ein 
Linienzug der Durchdringung ergiebt. 
Fig. 2 stellt die 2. P. des aus der Verbindung heraus 
gezogenen blauen Kegels und Fig. 3 die 1. P. des heraus 
genommenen gelben Kegels dar. 
In Fig. 4- ist der Mantel des blauen Kegels abgewickelt. 
Durch Paralleldrehen zur 4. T. sind die wahren Längen der 
von Anfang an angenommenen Mantellinien zu ermitteln. 
Von diesen .projizieren sich 5 — 1 und 11 — 1 , weil || zur 
4. T., auf ihr schon in richtiger Länge. 
Aus je zwei Mantellinien (in wahrer Länge) und dem 
zugehörigen Stücke des Bodenflächenumfangs konstruiert 
man stets ein Dreieck und beachtet dabei die zum vorher 
gehenden Blatte gegebenen Bemerkungen. 
Da der Kreisschnitt in den einzelnen Punkten seines 
Umfangs ungleiche Entfernung von der Kegelspitze hat, so 
erscheint seine Verwandelte nicht als Kreisbogen. Er kann 
deshalb bei der Abwickelung auch nicht als Ausgang ver 
wendet w T erden, wenigstens nicht in anderer Weise als der 
Umfang der Bodenfläche, d. h. seine Verwendung ergäbe 
auch nur ein annähernd richtiges Resultat, ebenso wie es 
bei dem Bodenflächenumfang der Fall ist. Hier wurden die 
Punkte 2 0 bis 13° des Kreisschnittes auf die schon gezogenen 
Mantellinien aufgetragen und aus freier Hand mittelst einer 
Kurve verbunden. 
Weil bei dem blauen Kegel die konstruierten Durch- j 
dringungspunkte nicht auf den anfänglich angenommenen 
zwölf Mantellinien liegen, so muß man für sie neue Mantel 
linien ziehen, deren Fußpunkte (1. Sp. Sp.) auf dem Umfange 
der Bodenfläche bestimmen und diese mittelst kleiner Teile 
vom Fußpunkte einer der benachbarten früheren Mantel 
linien messen und so in die Abwickelung übertragen. Die 
wahren Längen der Abschnitte auf diesen neuen Mantellinien 
erkennt man aus der 4. P., wenn sie || zur 4. T. gedreht; 
werden. Bei Punkt III ist diese Konstruktion durchgeführt. 
Es ist 1 — III in 1. P. || zur 3. A. gedreht; die 4. P. von 
III verschiebt sich daher || zur 3. A. und es erscheint 1 — III 
als 1± — 111' in 4. P. in wahrer Länge, welche für die Ab 
wickelung zu verwenden ist. So auch bei den übrigen 
Punkten. 
Die Durchdringungskurve muß sich berührend an die 
Mantellinien v — 1 und w — 1 anschmiegen, und zwar berührt 
sie dieselben in den oben erwähnten beiden Schnittpunkten 
zwischen III und IV, sowie zwischen XII und XIII. Es 
sind dieselben Punkte, welche sich auch auf der Mantellinie 
us des gelben Kegels befinden. 
Fig. 5 bietet die Abwickelung des Mantels des gelben 
Kegels. Da hier der Kreisquerschnitt in allen Punkten seines 
Umfanges von der Kegelspitze gleich weit entfernt ist, so 
muß sich dieser Umfang als Kreisbogen abwickeln, und kann 
er deshalb mit Vorteil als Ausgang der Abwickelung benutzt 
werden. Am genauesten erfolgt seine Abwickelung mittelst 
einer Berechnung. 
Der Radius des Kreisschnittes ist (annähernd) = 25,5 mm, . 
seine Peripherie deshalb = 160,14 mm. Ein Kreis mit 
dem Radius 135 mm besitzt eine Peripherie von 847,8 mm, 
daher 847,8 : 160,14 = 360 : x 
160,14 • 360 
847,8 
= 68 °. 
Teilen wir den zu dem Netzwinkel von 68° gehörigen 
Kreisbogen h° — h° in zwölf gleiche Teile, so haben wir genau 
die Lage der zwölf Mantellinien. Drehen wir in Fig. 1 alle 
Mantellinien || zur 3. T., so erhält man deren wahre Längen 
und zugleich auch die Entfernungen der Durchdringungs 
punkte von der Kegelspitze, auf den Mantellinien gemessen. 
Bei dem gelben Kegel liegen alle Durchdringungspunkte auf 
den von Anfang an angenommenen Mantellinien. 
Die so ermittelten wahren Längen der Mantellinien und 
der Abschnitte für die Durchdringungspunkte tragen wir in 
Fig. 5 auf den zugehörigen Verwandelten auf. Es ergeben 
sich die Punkte a bis m und a° bis m°, deren Verbindung 
die Verwandelten des Bodenflächenumfanges des gelben Kegels 
und der Schnittkurve auf seinem Mantel liefert. 
Nun sind wir im stände, auch die Punkte r und q auf 
der Kurve h—h aufzutragen, indem wir in 1. P. Fig. 1 
mittelst kleiner Teile ihre Abstände von den Nachbarpunkten 
m und <j messen und verwenden. Hierdurch ergeben sich 
die Mantellinien qs und rs auf dem abgewickelten Kegel 
mantel. Werden jetzt die schon vorher besprochenen Punkte 
VIII und XVI auf diese Mantellinien übertragen, so muß 
die Durchdringungskurve die Mantellinien qs und rs in 
diesen Punkten berühren. 
Man erkennt aus Vorstehendem, daß jene Mantellinien 
beider Kegel, welche zu den Punkten gehören, in welchen 
Tangenten vom Schlüsselpunkt aus die Bodenflächenumfänge 
berühren, in der Abwickelung Berührungslinien an den Ver 
wandelten der Durchdringungskurve sind. 
Als Zeichen genauer Konstruktion ergiebt sich überein 
stimmende Länge (mittelst kleiner Teile gemessen) der beiden 
Verwandelten der Durchdringungskurve auf den beiden ab 
gewickelten Kegelmänteln. 
Blatt 36. 
Durchdringung eines schiefen Kreiskegels und einer 
Kugel. 
Gegeben sind in Fig\ 1 nach eingeschriebenen Maßen 
ein schiefer Kreiskegel und eine Kugel. 
Bei den Cylinder- und Kegeldurchdringungen auf den 
vorhergehenden Blättern konnten wir durch Konstruktion 
von Mantellinien die Cylinder und Kegel bezw. als Prismen und 
Pyramiden auffassen, und war es uns deshalb möglich, die 
Konstruktion ihrer Durchdringung auf einen der Durch 
dringungsfälle der ebenflächigen Körper zurückzuführen. 
Kommt jedoch eine Kugel hinzu, so fehlt uns unter 
den ebenflächigen Körpern für sie ein Vorgänger, und wir 
können deshalb bei ihr nicht auf vorhergehende Fälle zurück 
greifen. 
Der Schnitt irgend einer Ebene mit der Kugel giebt in 
Wirklichkeit stets einen Kreis, "welcher sich aber nur dann, 
wenn er zu einer T. || ist, als Kreis projiziert, sonst als 
Ellipse (oder als Strecke). Wir werden uns bei Anwesenheit 
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