Blatt 38. 
95 
"I 
Gelegentlich der Besprechung von Blatt 35 haben wir 
erkannt, daß zur Konstruktion der Durchdringung in einem 
solchen Falle mit Vorteil Hülfsebenen verwendet werden 
können, welche durch die Spitzen beider Kegel gehen. Wir 
benutzten dabei die Sp. der Verbindungslinie der Kegel 
spitzen als Schlüsselpunkt und bemerkten noch, daß, wenn! 
dieser im beschränkten Umfange des Zeichnenpapiers nicht 
zugänglich ist, die Konstruktion etwas umständlich wird, da 
dann die beiden Kegel als Pyramiden zu betrachten sind, 
und man wie bei der Konstruktion des Blattes 31 zu ver 
fahren hat. 
Im vorliegenden Falle ist der Schlüsselpunkt auch nicht 
zugänglich; er liegt im Unendlichen, da die beiden Kegel 
gleiche Höhe besitzen. Dennoch ist hier die Verwendung 
von Hülfsebenen durch die Kegelspitzen einfach, da einzusehen 
ist, daß die 1. Sp.Sp. aller dieser Hülfsebenen zu der Ver 
bindungslinie der Kegelspitzen parallel laufen.* Ihre 1. Sp.Sp. 
sind alle zu 18 x — s l ||. 
Teilen wir demnach auf dem blauen Kegel (16) Mantel 
linien ein und legen durch jede derselben eine Hülfsebene, 
welche die Verbindungslinie 18—s enthält, so schneidet diese 
den gelben Kegel nach einem Dreieck, und da, wo die zu 
gehörige Mantellinie den Umfang dieses Dreiecks trifft, sind 
zwei Punkte der Durchdringung. 
Da sich hier auch die Bodenflächen an der Durch 
dringung beteiligen, so erhalten wir zwei Punkte I und II 
da, wo sich ihre Umfänge schneiden. 
Eine Tangente || zu 18 x — s x an den Bodenflächenum 
fang des gelben Kegels schneidet den blauen Kegel nach dem 
Dreieck 7.9, 20, 18. Die zugehörige Mantellinie es des 
gelben Kegels ergiebt die Punkte III und IV. 
Eine Tangente || zu 18 x — s x an den Bodenflächenumfang 
des blauen Kegels schneidet den gelben Kegel nach dem 
Dreieck fgs; die zugehörige Mantellinie des blauen Kegels 
liefert die Punkte V und VI. 
Weil die beiden Kegel Kreiskegel sind, so können auch 
sehr bequem Hülfsebenen || zur 1. T. verwendet werden. 
Sie schneiden beide Kegel nach Kreisen, und die beiden 
Schnittpunkte ihrer Umfänge sind Punkte der Durchdringung. 
So ergiebt eine Hülfsebene durch h und 21 die Durch 
dringungspunkte VII und VIII. 
Es entsteht ein Linienzug der Durchdringung: I — VII 
— III—VI — IV — V — VIII- — II, der sowohl über I — 1 — II 
als auch über I — c — II geschlossen werden kann. 
metrie, den Mittelpunkt n 2 in solcher Lage zu bestimmen, 
daß eine Senkrechte von ihm auf a. 2 g 2 — 35 mm und 
solche auf die A, = 50 mm ist. Der Berührungspunkt 
beider Bildkonturen ist hier l. 
Da aber die Berührung in einer Ebene durch die Kegel 
achse unter 60° zur 2. T. stattfinden soll, so muß jetzt eine 
Drehung um die Kegelachse ef als D. A. erfolgen, bis l nach 
T gelangt, wobei n nach m kommt, dann befindet sich die 
Kugel mit ihrem Mittelpunkt m an richtiger Stelle und 
kann in beiden P. P. gezeichnet werden. 
Wir bemerken noch zwei Schnittpunkte o und p, welche 
nach der Drehung nach II und III kommen. 
Die Punkte I, II und III der Durchdringung sind 
somit schon bestimmt. Weitere Punkte finden wir durch 
die Betrachtung, daß jede horizontale Ebene beide Körper 
zugleich nach Kreisen schneidet, und daß die Schnittpunkte 
der Umfänge dieser Kreise Punkte der Durchdringung sind. 
Nehmen wir daher auf der Kugel ein System von 
Parallelkreisen (in 10 mm Abstand) an und lassen deren 
Ebenen auch den Kegel schneiden, so erhalten wir genügend 
viele weitere Punkte. So ergiebt eine Ebene durch 3 die 
Punkte IV und V u. s. w. 
Infolge richtiger Verbindung aller Punkte entsteht ein 
Linienzug der Durchdringung, bei welchem wir erkennen, 
daß er in II seinen tiefsten und in III seinen höchst ge 
legenen Punkt hat, sowie daß er sich in einem Punkte I 
selbst schneidet. 
Einzusehen ist, daß sich die Durchdringungskurve, wenn 
der Mittelpunkt der Kugel in die Kegelachse rückte, in zwei 
Teile trennen und aus zwei getrennten ebenen Kurven und 
zwar Kreisen bestehen würde. 
In Fig. 2 soll die Durchdringung eines abgestumpften 
Kreiskegels mit einer Kugel gezeichnet werden. 
Da sich die Oberflächen beider Körper auch berühren 
sollen und zwar in einem Punkte I, so muß man in fol 
gender Weise Vorgehen. Zuerst ist der Kegel nach Maßen 
aufzutragen. Würde der Berührungspunkt in einer Ebene 
durch die Kegelachse [| zur 3. T. liegen, so würde man in 
der 2. P. sehen, wie die 2. Bildkontur der Kugel die 2. Bild 
kontur des Kegels berührt. Soll nun der Mittelpunkt der 
Kugel 50 mm über der 1. T. sein und die Kugel 35 mm 
Radius besitzen, so ist es eine einfache Aufgabe der Plani 
* Legt man durch eine Gerade, welche zu einer Ebene 1 ist, 
Ebenen, so schneiden diese die gegebene Ebene nach Parallelen zur 
Geraden; wenn nicht zufällig die neue Ebene || zur gegebenen Ebene ist. 
Gegeben sind in Fig. 3 nach Maßen ein schiefer 
elliptischer Kegel und eine Kugel; gesucht ist die Durch 
dringung beider Körper. Die Kegelachse geht nicht durch 
den Kugelmittelpunkt. 
Wenn auch hier horizontale Hülfsebenen die Kugel 
nach Kreisen schneiden, so schneiden sie doch den Kegel 
nach Ellipsen, welche unbequem zu zeichnen sind. Wir 
werden uns deshalb zu einer anderen Konstruktion ent 
schließen. 
Einzusehen ist, daß sich die Mantelflächen zweier 
beliebigen Kegel, welche eine gemeinsame Spitze haben, nach 
zwei Mantellinien schneiden, wenn sich die Kegel überhaupt 
durchdringen. 
Legt man nun durch irgend einen Parallelkreis der 
Kugel, z. B. den Kreis 5, eine Kegelfläche mit der Spitze in 
s, so ist dies ein schiefer Kreiskegel, welcher verlängert auch 
die 1. T. nach einem Kreise um e mit dem © fg schneidet. 
Dieser schiefe Kreiskegel mit der Achse es schneidet den 
gegebenen elliptischen Kegel ab cd mit Spitze s, wie man 
sieht, nach den Mantellinien hs und is, da sich ihre Boden 
flächenumfänge in h und i schneiden. Wo diese Mantel 
linien den Parallelkreis um 5 treffen, sind die Punkte I und 
II, welche deshalb der Oberfläche der Kugel und der Ober 
fläche des elliptischen Kegels angehören und Punkte der 
gesuchten Durchdringungskurve sind. Ebenso liefert ein 
Kegel um den Parallelkreis um 2 mit einem Basiskreis um 
o und einem © kl, sowie den Mantellinien ps und qs die 
Punkte III und IV; weiter ein Kegel um den Parallelkreis