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Umfänge beider Figuren treffen sich in den Durchdringungs 
punkten XIII, XIV, XVII und XVIII. 
Auch folgende Betrachtung führt zur Auffindung von 
Durchdringungspunkten. Jede Ebene, welche zur 1. T. 
ist, schneidet die Pyramide nach einem Fünfeck und den 
Cylinder nach einem Rechteck. Wo die Umfänge beider 
Figuren sich treffen, sind Punkte der Durchdringung. So 
ergiebt eine horizontale Ebene durch die Mantellinien G—15 
und 8—17 des Cylinders eine Schnittfigur ghiJcl mit der 
Pyramide. Wo in 1. P. die 1. P. P. der Mantellinien G—15 
und 8—17 durch den Umfang des Fünfecks gehen, sind 
die Punkte XI, XII, XIII und XIV. 
Man erhält zwei getrennte Linienzüge und damit eine 
vollständige Durchdringung. Jeder Linienzug besteht aus 
fünf einzelnen Kurven, welche an den Knicken Zusammen 
hängen. (Vgl. auch Fig. 4 Bl. 37.) 
deren Mittelpunkt in der Pyramidenachse liegt; gesucht ist 
die Durchdringung. 
Jede Ebene || zur 1. T. schneidet die Kugel nach einem 
Kreise und die Pyramide nach einem regelmäßigen Fünfeck. 
Die Schnittpunkte der Umfänge beider Figuren sind Punkte* 
der Durchdringung. 
Solche Punkte erhält man indessen nur in gewisser 
Höhe über der 1. T. Eine horizontale Ebene durch den 
Kugelmittelpunkt z. B. schneidet die Kugel nach einem 
Kreise, der das zugehörige Fünfeck der Pyramide ganz um 
schließt und keine Schnittpunkte liefert- Eine Ebene in 
der Nähe des Südpols der Kugel aber wird einen Schnitt 
kreis liefern, der wieder von dem Fünfeck der Pyramide 
ganz umschlossen wird und ebenfalls keine Schnittpunkte 
liefert. 
Jene Höhen, in welchen sich wirklich Durchdringungs 
punkte ergeben, erhält man wie folgt: 
Fig. 5. Gegeben sind ein schiefer Kreiskegel und 
eine fünfseitige Pyramide; gesucht ist ihre Durchdringung. 
Da beide Körper gleiche Höhen besitzen und mit ihren 
Bodenflächen auf der 1. T. aufstehen, so müssen alle Ebenen, 
welche durch die Verbindungslinien ihrer Spitzen gelegt 
werden, 1. Sp. Sp. haben, die zu s 1 6 1 ¡| sind. Eine solche 
Ebene durch die Pyramidenseitenkante 1—6 liefert die Punkte 
I und II. Eine Ebene durch die Kante 2 — G schneidet 
den Kegel nach dem Dreieck ops und liefert die Punkte 
III und IV u. s. w. Da Kante 3—G innerhalb des Kegels 
beginnt (Punkt 3 liegt im Innern des Kegels), so liefert sie 
nur den einen Punkt V. Kante 4—G ergiebt die Punkte 
VI — VII. Kante 5 — G geht an dem Kegel vorüber. 
Die Grundflächenumfänge beider Körper schneiden sich 
in VIII und IX. 
Eine Ebene durch die Mantellinien gs und qs schneidet 
den Kegel nach dem Dreieck gqs und die Pyramide nach 
dem Dreieck 7,8,G. Man erhält von gs die Punkte X und 
XI und von qs nur einen Punkt XI V, w r eil Punkt q sich 
im Innern der Pyramide befindet, und sich die Umfänge 
beider Dreiecke deshalb nur in drei Punkten schneiden. 
Eine Ebene, welche den Kegel nach der Mantellinie rs 
berührt, liefert die Punkte XII und XIII. 
Die richtige Verbindung der gefundenen Schnittpunkte 
ergiebt einen Linienzug der Durchdringung beginnend in VIII 
und endigend in IX. Er kann durch die Verbindung 
VIII—3 — IX oder VIII — b — a—IX geschlossen werden. 
Der Linienzug von VIII nach IX enthält nur sieben Knicke 
von vier Pyramidenkanten herrührend, da von Kante 3—G 
ein Punkt ausfällt. (Vergleiche auch Fig. 1 Bl. 38.) 
Fig. 6. Gegeben sind eine regelmäßige fünfseitige Pyra 
mide mit ihrer Grundfläche in der 1. T. und eine Kugel, 
Denkt man sich um die Pyramide einen einhüllenden 
geraden Kreiskegel beschrieben, so hat er als Bodenfläche 
einen Kreis um m, auf dessen Peripherie die Punkte ah cele 
liegen. Dieser Kegel schneidet die Kugel nach zwei Kreisen, 
deren 0 in 2. P. als f 2 g 2 und Ji 2 Ц erscheinen. 
Da die Seitenkanten der Pyramide zugleich auch Mantel 
linien des Kegels sind, so müssen ihre Schnittpunkte mit 
der Kugeloberfläche auf den beiden Kreisen f 2 g 2 und h 2 i 2 
liegen, und sind sie damit bestimmt. Es sind die zehn Knicke 
I bis X durch die fünf Pyramidenseitenkanten hervorgebracht. 
Weitere Schnittpunkte finden wir in folgender Weise: 
Läßt man die Ebene des Hauptmeridians die Pyramide 
schneiden, so entsteht als Schnittfigur ein Dreieck. Wo 
dessen Kanten in 2. P. von der 2. P. des Hauptmeridians 
getroffen werden, ergeben sich Durchdringungspunkte, wie 
z. B. XI und XII. Symmetrisch zu beiden können weitere 
achtzehn Punkte, von welchen neun die nämliche Höhe wie 
XI, neun die nämliche Höhe wie XII über der 1. T. be 
sitzen, eingeteilt werden. 
Legt man durch die Mittellinie Tcs der Pyramidenseite 
aes eine L.E. zur 1. T., so schneidet diese die Kugel nach 
einem größten Kreise. Wird dieser mitsamt der Linie Is [| 
zur 2. T. gedreht, so erkennt man in 2. P. die Schnittpunkte 
XIII und XIV, welche nun wieder zurück in ihre richtige 
Lage zu bringen sind. 
In gleicher Höhe wie XIII liegen noch weitere vier 
Punkte; es sind die niedersten des unteren Linienzuges der 
Durchdringung; mit XIV liegen noch vier Punkte in gleicher 
Höhe. Es sind die höchsten Punkte des oberen Linienzuges 
der Durchdringung. 
Weil die Pyramide regelmäßig ist, und der Kugelmittel 
punkt in ihrer Achse liegt, sind die einzelnen Stücke der 
beiden Linienzüge der Durchdringung je unter sich kongruent. 
Die Pyramide durchdringt die Kugel vollständig.