Erläuterungsblatt X. 
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ständig bestimmt. Nur eine P. würde nicht genügen; sie 
würde lediglich ausdrücken, daß der Punkt in einer in ihr 
zur T. errichteten Senkrechten liegt; wo er aber in dieser 
Senkrechten sich befindet, wird erst durch die andere P. 
bestimmt. 
Kommen wir zu dem Gedanken, von a { und a 2 aus 
gehende Lote nach der Achse zu ziehen, so ist einzusehen, 
daß sich diese Lote in einem und demselben Punkte der 
Achse in *k- — dem Achsenriß — treffen werden, a l tt- be 
zeichnen wir, weil in der 1. T. liegend, als 1. Tafellot — 
kurz 1. T. L. —; ebenso a 2 tz-, weil in der 2. T. liegend, als 
2. Tafellot — kurz 2. T. L. —. 
Überhaupt werden wir den Index einer Tafel allem bei 
fügen, was sich unmittelbar auf diese Tafel bezieht. Alles, 
was denselben Index hat, bezeichnen wir als gleichnamig. 
Durch diese vier Lote aa 1 — aci 2 — und a 2 *& kann 
man eine Ebene: die Lotebene — kurz L. E. — des 
Punktes a legen. Sie steht senkrecht — kurz _L — zur A. * 
und ist im allgemeinen als Rechteck begrenzt. Sollte der 
Punkt von beiden T.T. gleiche Abstände haben, so wird 
aus diesem Rechteck ein Quadrat. Liegt aber der Punkt in 
einer T., so zieht sich das Rechteck in eine Strecke zu 
sammen. Befindet sich der Punkt in der A., so wird aus 
dem Rechteck ein Punkt. 
In der Folge wird demnach jedem angenommenen oder 
gefundenen Punkte ein solches Rechteck zugehören. 
Die Länge der Diagonale a-tz- des Rechtecks giebt den 
Abstand des Punktes von der A. an :i: L 
Da gegenüberliegende Rechtecksseiten gleich lang sind, 
so kann der Abstand des Punktes a von der 1. T. auch an 
dem 2. T.L. a 2 und der Abstand von der 2. T. auch an 
dem 1. T.L. gemessen werden. Da auch die beiden Dia 
gonalen des Rechtecks gleich lang sind, so kann der Abstand 
des Punktes von der A. a-tz- auch an der Diagonale a 2 a 1 
erkannt werden, die als Hypotenuse eines rechtwinkligen Drei 
ecks erscheint, dessen Katheten die beiden Tafellote sind. 
Fig. 1 b ist die geometrische Seitenansicht des Modells. 
Die T.T. zeigen sich hier als gerade Linien, die A. als Punkt, 
und das Rechteck aa L -e^a 2 erscheint in seiner wahren Gestalt. 
Um von diesem Modelle zur Zeichnung der darstellenden 
Geometrie Fig. lc zu gelangen, beseitigt man den Punkt a 
und die beiden Lote aa l und aa 2 . Nun klappt man entweder 
wie hier die 1. T. in die Ebene der 2. T., oder was zum selben 
Ziele führt, die 2. T. in die Ebene der 1. T. um und be 
obachtet dabei, daß nach dem Umklappen die beiden Tafel 
lote und a 2 vc- eine Senkrechte zur A. bilden, so daß 
die Punkte a 2 , a x lotrecht zur A. übereinander liegen. 
Diese Thatsache lehrt, daß im Bilde cter darstellenden Geo 
metrie die beiden Projektionen eines Punktes stets in einer 
Senkrechten zur Achse liegen. 
Untersuchen wir nun, ob diese Zeichnung der dar 
stellenden Geometrie imstande ist, die Fragen zu beant 
worten, welche wir bezüglich der Lage eines Punktes a zu 
den T.T. stellen können, und ob diese Lage durch die Zeich 
nung auch zweifellos bestimmt ist, so muß dies bejaht werden. * ** 
* Steht eine Ebene auf zwei anderen Ebenen J_, so steht sie 
auch auf deren Schnittlinie J_. 
** Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden versteht 
man die Länge der Senkrechten vom Punkt nach der Geraden. 
Wir erkennen nach dem Vorhergehenden, daß der Ab 
stand des Punktes von der 1. T. an a 2 *z-, sein Abstand von 
der 2. T. an und sein Abstand von der A. an der 
Hypotenuse ajaj gemessen werden kann, mithin diese Dar 
stellungsweise als ausreichend anzusehen ist. 
Von der Zeichnung der darstellenden Geometrie kann 
man jederzeit wieder zu dem Punkt a im Raume zurück- 
gelangen, indem die eine T. an der A. _L zur anderen auf 
gerichtet wird, und in den Punkten a t und a 2 Senkrechte 
aufgestellt werden. Der Schnittpunkt dieser Senkrechten im 
Raume ist der Punkt a. 
In Fig. 2 a ist eine Strecke ab im Raume behandelt. 
Eine Strecke ist bestimmt durch die feste Lage ihrer 
beiden Endpunkte; hier a und b. Wir werden a und b 
deshalb ebenso projizieren, wie es in Fig. 1 bei Punkt a ge 
schehen ist und erhalten die Projektionen a x , b u a 2 und b 2 . 
Eine Strecke kann man sich vorstellen als eine Aneinander 
reihung von unendlich vielen unendlich nahe gelegenen 
Punkten. Werden alle diese Zwischenpunkte ebenfalls proji 
ziert, so ist einzusehen, daß deren 1. P.P. sämtlich in die 
gerade Verbindungslinie a i b 1 und deren 2. P.P. alle in die 
Linie a 2 b 2 fallen werden. Mithin erscheinen a l b l und a 2 b 2 
als die beiden Projektionen der Strecke ab. 
Die Gesamtheit aller ersten Lote zwischen aa 1 und bb x 
ergiebt eine Ebene— die horizontal projizierende Ebene 
oder 1. Lotebene — kurz 1. L.E. — von a&, welche auf 
der 1. T. J_ steht. In gleichem Sinne nennen wir abb 2 a 2 
die vertikalprojizierende Ebene oder 2. Lotebene — 
kurz 2. L.E. —; sie ist _L zur 2. T. 
Im allgemeinen erscheint eine solche Lotebene als ein 
Trapez mit zwei rechten Winkeln. In besonderen Fällen 
aber wird daraus ein Rechteck, ein Quadrat, ein rechtwinkliges 
Dreieck oder eine Strecke. Ist nämlich die zu projizierende 
Strecke parallel — kurz || — zu einer T., so zeigt sich die L.E. 
als ein Rechteck, und ist dabei die Länge der Strecke gleich 
ihrem Abstand von der T., so wird aus dem Rechteck ein 
Quadrat. Hat die Strecke einen Punkt in der T., ist aber 
schief zu derselben, so ist die L.E. ein rechtwinkliges Drei 
eck. Ist die Strecke aber _L zu einer T., oder liegt sie in 
der T., oder fällt sie mit der A. zusammen, so stellt sich die 
betreffende L.E. als eine Strecke dar. 
Man erkennt, daß die P. kürzer als die Strecke ausfällt, 
sobald die L.E. ein Trapez ist. Die Strecke ist alsdann zu 
dieser T. geneigt. Ist die L.E. aber ein Rechteck, so pro 
jiziert sich die Strecke in wirklicher Länge. Sie ist als 
dann zur T. || . Ebenso auch, wenn die Strecke mit ihrer P. 
zusammenfällt. Steht aber die Strecke _L zu einer T., so 
wird die P. ein Punkt. 
Zerlegt man die L. E., sobald sie sich als ein Trapez 
zeigt, mittelst einer Parallelen zur P. durch jenen Endpunkt 
der Strecke, welcher der T. zunächst ist — hier b —, in ein 
Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck, so enthält letzteres, 
wie wir noch später weiter erläutern werden, den Neigungs 
winkel der Strecke zu dieser T. Wir erhalten so einmal 
den Neigungswinkel a zur 1. T. und im anderen Falle den 
Neigungswinkel ß zur 2. T. Ein solches Dreieck führt die 
Bezeichnung: Differenzdreieck. 
Ist aber die L.E. ein Rechteck, so ist das Abschneiden 
eines Dreiecks nicht möglich; die Strecke ist zur T. || und 
der Neigungswinkel = 0°.