Blatt 4. 
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kongruent. Ist sie aber schief zur T., so projiziert sie sich 
auf dieser T. in veränderter Gestalt und mit kleinerem 
Flächeninhalt. Es läßt sich nachweisen, daß der Inhalt der 
P. einer ebenen Figur gleich ist dem wirklichen Inhalt 
multipliziert mit dem Cosinus des N.W. ihrer Ebene gegen 
die T. Auch verhalten sich die Inhalte ebener Figuren, 
welche in der nämlichen Ebene liegen, wie die Inhalte ihrer 
gleichnamigen P. P. 
Nehmen wir nun an, das Fünfeck wäre von Anfang 
an in der Stellung I (blau) gegeben gewesen, so würde es eine 
sehr wichtige Aufgabe sein, seine wahre Gestalt und Größe 
aus diesen P.P. zu ermitteln. Genau die Umkehrung des 
obigen Vorganges wird zu diesem Ziele führen. 
Wir werden z. B. durch den Punkt a eine D. A. _L zur 
2. T. annehmen und das Fünfeck drehen, bis es parallel zur 
1. T. wird. Die 2. P. dreht sich dabei um u 2 , bis sie || zur 
A. ist, und die Eckpunkte der 1. P. rücken _L zur D. A. fort, 
bis sie _L zur A. unter ihren neuen 2. P.P. stehen; alsdann 
giebt ihre Verbindung die wahre Gestalt und Größe des 
Fünfecks (gelb). 
Aber auch noch in anderer Weise kann aus der Stellung I 
(blau) die wahre Größe des Fünfecks ermittelt werden. Be 
denken wir, daß die Ebene des Fünfecks J- zur 2. T. ge 
richtet ist und ausgedehnt eine 2. L.E. bildet. Diese können 
wir mit dem darinliegenden Fünfeck um a 2 c 2 als D.A. um 
klappen, bis sie in die 2. T. zu liegen kommt. Die Abstände 
der Eckpunkte von der 2. T. — ihre 2. L.L. — legen sich 
dabei als || Strecken _L zu a 2 c 2 um und erscheinen in 
wahrer Größe. Ihre Längen können abgegriffen werden an 
den Abständen der 1. P.P. von der A., also ci 2 TI a 2 = a 1 -a>, 
b 2 II b 2 1 — b l 1 ^ 1 , c 2 II c 2 I = r 1 u. s. w. Das Fünfeck er 
scheint nun in der Stellung II (braun) mit den P. P. 
a x 11 b t H e 1 II c l 11 d x 11 und a 2 ri b 2 n c./ r d./ 1 e 2 n in 2. P. in der 
gewünschten wahren Größe und Gestalt, wobei es selbst in 
der 2. T. liegt, sich mit seiner 2. P. deckt und eine 1. P. 
in der A. hat. 
Fig. 4. Hier ist das gleiche Fünfeck zuerst in einer ; 
Stellung (gelb) || zur 2. T. projiziert. Die 1. P. zeigt dasselbe 
als Strecke, die 2. P. zeigt die wahre Größe. Es soll das 
Fünfeck so gedreht werden, daß Punkt a an seiner Stelle 
bleibt und die Fünfecksebene einen von 45° zur 2. T. 
bildet. 
Zu diesem Zwecke stellen wir durch a eine D.A. _L zur 
1. T. Bei dem Drehen um dieselbe zeigen sich die zurück 
gelegten Wege der Punkte von oben gesehen als konzentrische 
Kreisbögen mit a x als Mittelpunkt; von vornen gesehen er 
scheinen sie als Senkrechte zur D.A. Die 2. P.P. der Eck 
punkte rücken auf diesen Senkrechten gegen die D.A. so 
lange vor, bis sie sich _L zur A. über die gleichnamigen 
1. P.P. gestellt haben. Letztere sind zur Ruhe gekommen, 
sobald die 1. P. des Fünfecks unter einem von 45° gegen 
die ursprüngliche Lage geneigt ist. 
Als Resultat ergiebt sich die Stellung I (blau) des Fünf 
ecks mit den P.P. a x G 7 d x r c x und a 2 b./c 2 I d 2 I e 2 I , wobei 
die wahre Größe nicht erscheint. Nehmen wir an, diese 
Stellung sei von Anfang an gegeben und es soll die wirk 
liche Größe des Fünfecks ermittelt werden, so können wir 
wieder zwei Wege einschlagen. Wir stellen z. B. durch 
Eck a _L zur 1. T. eine D.A. und drehen um diese das 
Fünfeck, bis es || zur 2. T. wird, so wird es sich, nachdem 
C. Alberti, Darstellende Geometrie. 
diese Stellung (gelb) erreicht ist, auf der 2. T. in wahrer 
Größe zeigen. Andererseits könnten wir auch die Ebene 
des Fünfecks, welche _L zur 1. T. ist, um a x c x als D.A. 
in die 1. T. umklappen, so würde es sich in dieser Lage II 
(braun) in wahrer Größe darstellen. 
Fig. 5. Dasselbe Fünfeck ist in der 1. T. liegend 
gegeben, es ist ein Stück der A. die 2. P. Es soll das 
Fünfeck mit Benutzung der Kante ae (bezw. ihrer Ver 
längerung) als D.A. aus der 1. T. herausgehoben werden, 
bis seine Ebene einen N.W. von 60° mit der 1. T. bildet. 
Da bei dem Drehen die Ebene des Fünfecks stets 
J- zur 2. T. gerichtet bleibt, so wird sie auch nach voll 
endeter Drehung sich als Strecke projizieren, und der N.W. 
zur 1. T. wird sich dabei in seiner 2. P. in wahrer Größe 
60° ergeben. a 2 c 2 dreht sich also um a 2 um 60° in die 
neue Stellung a 2 c 2 . Während dessen rücken die 1. P.P. 
der Eckpunkte normal zur D.A. nach dieser hin und stellen 
sich _L zur A. unter die gleichnamigen 2. P.P., so daß 
a l b i I c l I d l T e 1 I die gewünschte 1. P. in der Stellung I 
(blau) ist. 
Wird diese Drehung noch um weitere 30° fortgesetzt, 
bis die Ebene des Fünfecks auch zur 1. T. -L steht, so zeigen 
sich beide P.P. desselben als Strecken. In dieser Stellung II 
(braun) ist das Fünfeck sowohl zu beiden T.T. als auch 
zur A. _L. 
Fig. 6. Das nämliche Fünfeck ist anfänglich (gelb) 
in der 1. T. liegend gegeben. Es zeigt sich in 1. P. in 
wahrer Größe; ein Stück der A. ist die 2. P. Es soll mit 
Benutzung seiner Kante ae aus der 1. T. herausgehoben 
werden, bis es einen N.W. von 45° zur 1. T. bildet. 
Im vorhergehenden Falle — Fig. 5 — waren wir im 
stände, die zurückgelegten Wege der Eckpunkte als Kreis 
bögen in 2. P. zu zeichnen, da die 2. T. dort || zu der vor 
sich gehenden Drehung, oder mit anderen Worten _L zur 
D.A. stand. 
Im vorliegenden Falle haben wir diesen Vorteil nicht, 
da die Drehung des Fünfecks weder zur 1. noch zur 2. T. 
Ü vor sich geht. Doch können wir diese Sachlage durch 
Einführung einer Kreuzrißtafel herbeiführen. Wir stellen 
diese dicht am Fünfecke auf und bestimmen in seiner an 
fänglichen Stellung- (gelb) seine 3. P. — die Strecke a 3 bis c 3 . 
Hebt sich nun das Fünfeck um 45° in die neue 
Stellung I (blau), so können wir von dieser die 3. P. angeben 
und aus ihr wieder die neue 1. P. bestimmen. Die zugehörige 
2. P. erhalten wir einmal mit Rücksicht darauf, daß die 
2. P.P. der Eckpunkte _L zur 1. A. über den neuen 1. P.P. 
sein müssen, und weiter, indem wir bedenken, daß sie ebenso 
hoch über der 1. A. sind, als die zugehörigen 3. P.P. über 
der 2. A., und zwar aus dem Grunde, weil sowohl die 2. als auch 
die 3. T. auf der 1. T. _L stehen, und deshalb die Flöhen 
der 3. P.P. über der 2. A. = den Höhen der 2. P.P. über 
der l.A. sind. Es muß daher c 3 T r 2 T = c 2 T b/ — b 2 f ^ 
u. s. w. aufgetragen werden. 
Man erkennt, daß das Fünfeck in der neuen Stel 
lung I (blau) zur 1. T. und zur 2. T. N.W. N.W. von 45° 
besitzt, mitbin seine beiden P.P. symmetrische Figuren 
sein müssen. 
Wird die Drehung fortgesetzt, bis die Fünfecksebene _L 
zur 1. T. ist, so projiziert sich das Fünfeck in dieser 
Stellung II (braun) in 1. P. als Strecke und in 2. P. in 
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