Das Projizieren von Körpern. 
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ac. Beide Sp.Sp. der Ebene abcde müssen sich wieder genau 
in einem Punkt der A. schneiden. 
Zum Umkanten in die 1. T. bedürfen wir einer 3. P. 
auf einer 3. T. _L zur 1. Sp. von abcde. Dabei wird 
«3 ^2 = a 2 cK- x , b A / 2 = u - s - w - angetragen. Dadurch, 
daß die P.P. a 3 , & 3 , c 3 , d 3 und <? 3 alle in eine gerade Linie 
fallen, ist der Beweis geliefert, daß das Fünfeck wirklich 
eine ebene Figur ist. Drehen wir die 3. P. « 3 bis c 3 in die 
neue Stellung I, a./ bis c./, so erhalten wir aus dieser und 
der 1. P. die wirkliche Größe des Fünfecks mit a I b I c I d I e I . 
Nebenbei ergab sich der N.W. « der Fünfecksebene zur 1. T. 
Zum Umkanten in die 2. T. bedürfen wir einer 4. P. auf 
einer 4. T. ± zur 2. Sp. von Ebene abcde. Dabei ist a 4 «^ 3 = 
a x c^ x , ^ 3 = b x J x u. s. w. aufgetragen. In 4. P. müssen 
auch hier die Punkte wieder in eine Strecke, a x bis d x , fallen. 
Wird letztere in die Stellung II gedreht, so ergiebt sich aus 
dieser und der 2. P. die gesuchte wirkliche Größe a n b II c n d II e 11 , 
welche mit der in Stellung I gefundenen selbstverständlich 
kongruent sein muß. Nebenbei wird in der 4. P. die wahre 
Größe des N.W. ß der Fünfecksebene zur 2. T. bestimmt. 
Auch hier kann die wirkliche Größe des Fünfecks in 
der Weise konstruiert werden, daß wir die wahren Längen 
der fünf Kanten und von mindestens zwei Diagonalen, 
welche von einer Ecke ausgehen (wodurch das Fünfeck in 
lauter aneinanderliegende Dreiecke zerlegt wird), bestimmen, 
und aus diesen Strecken das Fünfeck durch Konstruktion 
von Dreiecken zusammensetzen. 
So wurden in Fig. 5 von ab, ac, ad, de und cd die 
wahren Längen durch Paralleldrehen zur 1. T., von bd und 
bc durch Paralleldrehen zur 2. T. ermittelt, und aus ihnen 
das Fünfeck in Fig. 6 zusammengesetzt. 
Dabei ist zu beachten, daß sich, wie auch hier geschehen, 
eine symmetrische Figur zu einer auf anderem Wege er 
haltenen ergeben kann. Das Fünfeck ist in Fig. 6, von der 
entgegengesetzten Seite betrachtet, gezeichnet, als es in Fig. 4 
geschehen ist. 
Als Ergebnis der vorigen Konstruktionen mag hervor 
gehoben werden, daß es bei einer Figur mit vielen Kanten 
einfacher ist, die wirkliche Größe durch Umklappen zu be 
stimmen, während sich bei wenig Kanten die Bestimmung 
der wahren Längen von Kanten und Diagonalen und geo 
metrisches Zusammensetzen zur Figur als einfacher em 
pfiehlt. Bei dem Umklappen erhält man auch nebenbei 
die N.W. N.W. zu den T.T., was bei dem anderen Verfahren 
nicht der Fall ist. 
Betrachtet man in Fig. 1 die 1. P. a 1 b 1 c 1 und die Um- 
klappung a I b I c I des Dreiecks, so entdeckt man zwischen 
beiden Figuren gewisse Beziehungen, welche man Verwandt 
schaft oder Affinität nennt. Zwei Figuren heißen ver 
wandt oder affin, wenn sich: 
1. ) von beiden immer zwei Eckpunkte oder Kanten 
paarweise entsprechen, 
2. ) wenn diese sich entsprechenden Punkte — Affinitäts 
punkte— alle auf Parallelen — den Affinitätsstrahlen 
— liegen und 
3. ) wenn sich je zwei solche entsprechende Kanten oder 
ihre Verlängerungen in einem Punkte einer Geraden — der 
Affinitätsachse — schneiden. 
Dabei können die affinen Figuren auf einer und der 
selben oder auch auf entgegengesetzten Seiten der Affinitäts 
achse liegen. Auch kann die Achse beide Figuren schneiden, 
und es können beide Figuren zur Affinitätsachse symme 
trisch sein. 
Die Eigenschaft der Affinität gilt aber nicht nur für 
die Kanten, sondern auch für Diagonalen oder Durchmesser, 
überhaupt für je zwei sich entsprechende Strahlen, zweier 
ebenen geradlinig oder krummlinig begrenzten Figuren. 
Solche Beziehungen finden hier statt. Die 1. Sp. p x q x 
der Ebene abc ist die Affinitätsachse. Die zusammenge 
hörigen Punkte a x und a 1 , b x und b T , c x und c 1 befinden 
sich auf Parallelen. Die Verlängerungen a x b x und a T b T , b x c x 
und b r c T und c x a x und c T a 1 schneiden sich in je einem Punkte 
der Affinitätsachse. Die gleiche Beobachtung macht man auch 
zwischen der 2. P. a 2 b 2 c 2 und der Umklappung a ,I b II c IJ in 
die 2. T. bezüglich der Affinitätsachse r 2 s 2 . 
Die Affinität läßt sich oft mit Vorteil zur Vereinfachung 
der Konstruktionen der darstellenden Geometrie oder zur 
Prüfung ihrer Richtigkeit verwenden. So kann man sie zur 
Bestimmung weiterer Punkte einer Umklappung gebrauchen. 
Sei z. B. der umgeklajipte Eckpunkt b' bekannt, so findet 
man a 1 und c 1 , wenn b x a x und b x c x bis zu p x und q x in 
der Affinitätsachse verlängert werden. Zieht man von a x 
und c x _L zu p x q x , so sind die Schnitte dieser Senkrechten 
mit den Verbindungslinien b T p x und b J q x die gesuchten 
Punkte a 1 und c 1 . 
Aber auch die beiden zusammengehörigen P.P. einer 
Figur sind immer affin, wie z. B. in Fig. 5 die 1. u. 2. P. 
des Fünfecks. Wir beobachten hier, daß die zusammen 
gehörigen P. P. der Kanten sich in Punkten schneiden, 
welche alle auf einer gewissen Geraden — der Affinitätsachse 
— liegen. Über die weitere Bedeutung dieser Achse wird 
noch im II. Teile dieses Werkes die Rede sein. 
Das Projizieren von Körpern. 
Alles Vorhergehende muß als die notwendige Einleitung 
und Voraussetzung angesehen werden zur Lösung der wich 
tigen Aufgabe, welche wir bisher angestrebt haben und jetzt 
in Angriff nehmen werden, nämlich: die LIerstellung der 
Projektionszeichnungen von Körpern. 
Unter einem Körper versteht man ein mit irgend 
einer Masse erfülltes, von allen Seiten begrenztes Stück des 
Raumes. Die Gesamtheit der Begrenzungen nennt man 
die Oberfläche des Körpers. Diese kann nur aus einer 
einzigen gekrümmten Fläche bestehen oder aus einer Anzahl 
ebener oder gekrümmter Flächen zusammengesetzt sein. 
Ist sie zusammengesetzt, so wird man an ihr einzelne Seiten, 
ferner Kanten, als Abgrenzungen der Seiten, und Ecken, 
als Abgrenzungen der Kanten, unterscheiden können. 
Betrachtet man einen Körper als einen geometrischen 
Körper, so sieht man von seiner Masse ganz ab; man unter 
sucht zunächst nur die Form seiner Oberfläche und giebt 
ihm nach der Art derselben einen besonderen Namen. 
Jene Körper, welche nur von Ebenen begrenzt sind, 
heißen ebenflächige Körper oder Polyeder; jene, welche 
von einer oder mehreren krummen Flächen begrenzt sind, 
heißen runde oder krummflächige Körper. Ferner giebt 
es noch gemischtflächige Körper, deren Oberflächen aus 
ebenen und krummen Flächen zusammengesetzt sind. 
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