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Das Projizieren von Körpern. 
Die wichtigsten ebenflächigen Körper sind: die Prismen, 
die Pyramiden, die Obelisken und die Krystallformen, 
zu welchen auch die regulären Polyeder gerechnet werden 
können. 
Von den rein krumm flächigen Körpern heben wir zunächst 
die Kugel und das Ellipsoid hervor. Diese sind auch 
Umdrehungskörper. 
Zu den gemischtflächigen Körpern gehören: die Cy- 
linder, die Kegel, viele Umdrehungskörper und die 
Körper mit windschiefen Flächen. 
Da die gekrümmten Flächen gewöhnlich als Körper 
oberflächen erscheinen, so können dieselben gleich hier mit 
besprochen werden. 
Die krummen Flächen sind nur dann einer wissenschaft 
lichen Betrachtung zu unterziehen, wenn sie nach einem ge 
wissen Gesetze gebildet sind. Von diesem Entstehungsgesetz 
hängt die Natur der Fläche ab; dasselbe liefert die Mittel 
zu ihrer Darstellung und Untersuchung. 
Man kann sich durch bestimmt vorgeschriebene Be 
wegungen von geraden oder krummen Linien krumme (unter 
Umständen auch ebene) Flächen entstanden denken. 
Unter Regelflächen versteht man alle diejenigen 
Flächen, welche durch Bewegung einer Geraden hervorgebracht 
werden. Jene Flächen, welche nur durch die Bewegung einer 
krummen Linie entstehen können, heißen Kurvenflächen. 
Umdrehungsflächen können sowohl Regelflächen als 
Kurvenflächen sein. 
Die Regelflächen unterscheiden sich wieder in ent 
wickelbare und nicht entwickelbare Flächen, je nach 
dem sie sich in eine Ebene ohne Riß oder Falte ausbreiten 
lassen oder nicht. Zu den entwickelbaren Regelflächen ge 
hören die Cy linder- und Kegel flächen; zu den nicht ent 
wickelbaren die windschiefen Flächen. Umdrehungs 
flächen können teils entwickelt, teils nicht entwickelt werden. 
Man erhält nun die Projektionen eines Körpers, wenn 
man von allen ihn begrenzenden Flächen, Linien und Punkten 
die gleichnamigen Projektionen bestimmt. Auf jeder Tafel 
entsteht dadurch ein begrenztes Stück derselben, in Form 
einer ebenen Figur, als Projektion des Körpers. 
Der Linienzug, welcher diese Figur umschließt, heißt 
Umrißlinie oder Bildkontur. Jeder Punkt dieser Bild 
kontur ist der Riß eines oder auch mehrerer Punkte der 
Körperoberfläche. Tritt ersterer Fall ein, wie z. B. bei einer 
Kugel, so nennt man den Linienzug auf der Körperoberfläche, 
welcher als Projektion die Bildkontur liefert: die räum 
liche Umrißlinie oder die Raumkontur. Dieselbe bildet 
einen in sich geschlossenen Linienzug, der die Oberfläche 
des Körpers umzieht. 
Ist ein Körper durchlocht, so kann es auch mehrere 
Umrißlinien geben, welche wieder als äußere und innere 
unterschieden werden; zwischen diesen befindet sich alsdann 
die Projektion des Körpers. Es ist sogar denkbar, daß in 
einer Projektion das Bild des Körpers eine, in einer anderen 
Projektion aber mehrere Umrißlinien zeigt. Auch können 
mehrere innere Umrißlinien vorhanden sein. 
Enthält aber die Bildkontur Punkte, welche von mehr 
als einem Punkte der Oberfläche die Projektionen darstellen, 
so läßt sich in diesem Falle nicht von einer räumlichen 
Umrißlinie, wohl aber von einer Umrißfläche sprechen. 
Zu jeder Tafel gehört selbstredend stets eine besondere Bild 
kontur und eine besondere Raumkontur. 
Denkt man sich den Körper aus unendlicher Ferne 
betrachtet, so wird das dem Beschauer sich darbietende Bild 
des Körpers gerade seine Projektion decken. 
Ist der Körper undurchsichtig, wie wir immer annehmen 
wollen, so werden Teile seiner Oberfläche dem Beschauer 
sichtbar, andere unsichtbar sein. Wir werden die Pro 
jektionen jener Kanten, welche sichtbar sind, mit ge 
schlossenen Linien ausziehen, zum Unterschiede von den 
unsichtbaren Kanten, welche strichpunktiert werden. 
Es müssen in einer Zeichnung der darstellenden Geo 
metrie auch nicht sichtbare Körperkanten eingetragen werden, 
um einen deutlichen Begriff von der Gestalt des Körpers zu 
bekommen und um diese Kanten zu allenfallsigen weiteren 
Konstruktionen verwenden zu können. 
Die Entscheidung über die Sichtbarkeit oder Unsicht 
barkeit von Kanten muß für jede Tafel für sich getrennt 
erfolgen, da ja die Stellung des Beobachters für jede Tafel 
eine andere ist; man spricht daher immer von Sichtbarsein 
oder Unsichtbarsein in Bezug auf eine bestimmte Tafel. 
Jeder Punkt einer Projektion innerhalb der Bildkontur 
ist der Riß von mindestens zwei Punkten der Körperober 
fläche, von welchen nur der eine sichtbar sein kann, und 
zwar wird derjenige, welcher den größeren Abstand von der 
Tafel hat, sichtbar sein, jener mit dem kleineren Abstande 
ist unsichtbar. 
Der sichtbare Teil der Oberfläche eines Körpers wird 
vom unsichtbaren Teile durch die Raumkontur getrennt; 
somit ist für die Körperprojektion der Riß der Raumkontur 
— die Bildkontur also — die Grenze zwischen den Projektionen 
der sichtbaren und unsichtbaren Teile der Körperoberfläche. 
Irgend ein geschlossener Linienzug, welcher über die Ober 
fläche des Körpers hinläuft, wird daher projiziert teilweise 
sichtbar, teilweise unsichtbar erscheinen, wenn er selbst die 
Raumkontur schneidet. 
Es können indessen auch innerhalb der Bildkontur 
Grenzen von Sichtbarem und Unsichtbarem vorhanden sein, 
wenn nämlich Körperteile über andere hinwegragen; solche 
Grenzen bezeichnet man als virtuelle Umrisse. 
Projiziert sich eine ebene oder krumme Fläche eines 
Körpers als eine Linie, so wollen wir diese Fläche auch noch 
als sichtbar ansehen. 
Zur Erhöhung der Deutlichkeit der Darstellung ist es 
üblich, Durchschnitte von Körpern zu zeichnen in der Weise, 
daß man den Körper durch eine Ebene schneidet und sich 
jenen Teil, welcher dem Beschauer zunächst ist, weggenommen 
denkt, den übrig bleibenden aber zeichnet. Die Schnittfläche 
wird schraffiert oder mit einer dem Material des Körpers 
entsprechenden Farbe angelegt. 
Breitet man sämtliche Begrenzungsflächen eines Körpers 
in einer Ebene aus, so daß die einzelnen Stücke seiner 
Oberfläche möglichst im Zusammenhang bleiben oder, mit 
anderen Worten, wickelt man die Körperoberfläche ab, so 
entsteht ein Netz des Körpers. 
Dieses bietet, wenn die Zeichnung auf ein dünnes bieg 
sames Material (Karton, Blech) übertragen wird und die 
einzelnen Figuren des Netzes ausgeschnitten, umgebogen, 
zusammengeklappt und in irgend einer Weise verbunden 
werden, ein Mittel, sich ein Modell des Körpers zu ver-